Sommerkonkurrencer 2022

Velkommen til Matematikcenters sommerkonkurrencer 2022! Hver mandag i juli kommer der en ny konkurrence op, hvor du har mulighed for at finde sjove præmier. Man deltager i konkurrencerne på vores Facebookside. Du kan også finde hints til konkurrencerne på denne side, og når der kommer en ny konkurrence op, vil du kunne se svaret på den afsluttede konkurrence her.

Fjerde sommerkonkurrence

Hvor meget er en is, en palme og en sol værd? Prøv at bestemme symbolernes værdi, og løs til sidst det nederste regnestykke. Når du har et svar, kan du deltage i konkurrencen på vores Facebookside. Læs videre under billedet, hvis du har brug for et hint.

Hint

Ud fra første ligning kan du bestemme hvilket tal isen svarer til. Det kan du bruge i den tredje ligning til at bestemme palmens værdi, osv.

Løsning

Det vi har her, er fire ligninger med fire ubekendte. Men vi kan gøre det lettere for os selv, og først løse de tre første ligninger med tre ubekendte; Vi giver solen symbolet S, isen symbolet I, og palmen symbolet P.  Nu bliver de tre første ligninger:

$$ I+I = 4 $$

$$ P-S = 5 $$

$$ P \cdot I+I = 22 $$

Fra den første ligning kan vi se, at \( I=4 \). Det kan vi sætte ind i den tredje ligning, for at bestemme P:

$$ P \cdot 2+2 = 22 \Leftrightarrow 2 \cdot P = 20 \Leftrightarrow P=10. $$

Nu mangler vi kun at finde værdien af S, som kan findes ved at løse ligning nr. 2:

$$ 10-S = 5 \Leftrightarrow S=5. $$

Nu kender vi værdierne af de tre symboler, og vi kan indsætte det I den sidste ligning:

$$ S \cdot P+P = 5 \cdot 10 + 10 = 50 + 10 = 60.$$

Løsningen er 60.

Tredje sommerkonkurrence

I den tredje sommerkonkurrence, gælder det om at være skarp til sandsynlighedsregning og kombinatorik. Deltag i konkurrencen på vores Facebookside, eller læs videre under billedet, hvis du har brug for et hint.

Hint

Sandsynligheden kan udregnes med formlen:

$$P(H)=\frac{\text{Antal gunstige udfald}}{\text{Antal mulige udfald}}.$$

Læs mere om, hvordan formlen bruges her.

Løsning

Her skal vi bruge kombinatorik. Vi bestemmer sandsynligheden med formlen:

$$ P(hændelse) = \frac{\textit{antal gunstige udfald}}{\textit{antal mulige udfald}}. $$

De gunstige udfald er de udfald, hvor eleven får sit ønske opfyldt – altså kommer af sted på camp med sin ven. Antal mulige udfald er antallet af måder, man kan trække tre elever ud fra en mængde på 20, hvor rækkefølgen ikke betyder noget.

Lad os først se, hvor mange gunstige udfald, der er. To af pladserne skal gå til eleven og vennen, og den sidste plads kan gå til hvem som helst. Når de to elever er valgt, er der 18 muligheder tilbage til den sidste plads. Derfor er der 18 gunstige udfald.

Nu skal vi se, hvor mange måder i alt man kan udtrække tre elever fra en klasse på 20, når rækkefølgen ikke betyder noget. Til det bruger vi formlen:

$$ K_{n,r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}. $$

Her er K antallet af mulige udfald når man skal trække r elementer ud fra en mængde med n elementer. I vores tilfælde har vi \(n=20 \text{ og } r=3 \):

$$ K_{20,3} = \frac{20!}{3! \cdot (17)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140. $$

Der er derfor 1140 mulige udfald. Sandsynligheden er derfor:

$$ P = \frac{18}{1140} = \frac{3}{190} \approx 1{,}6\%. $$

Anden sommerkonkurrence

I den anden konkurrence skal du finde ud af, hvilket af de tre tal a, b og c, der er størst. Gå ind og svar på vores Facebookside, eller læs videre under billedet, hvis du har brug for et hint.

Hint

Opdel ligningen i tre mindre ligninger:

$$ a+b+2=c+a $$

$$ c+a = b+c-4 $$

$$ a+b+2=b+c-4. $$

Hvad kan du udlede fra de tre ligninger?

Løsning

Fra den første ligning, kan vi udlede:

$$ a+b+2=c+a \Leftrightarrow b+2=c \Leftrightarrow b<c. $$

b er altså mindre end c. Nu mangler vi blot at finde ud af, om a er større eller mindre end c. Det kan vi gøre med den tredje ligning:

$$ a+b+2=b+c-4 \Leftrightarrow a+2 = c-4 \Leftrightarrow a=c-6 \Leftrightarrow a<c. $$

Vi kan se, at a også er mindre end c, og c er dermed størst.

Første sommerkonkurrence

Den første sommerkonkurrence er et regnestykke, hvor man skal kende regnearternes hierarki for at løse det. Prøv at løse regnestykket uden lommeregner, eller læs videre efter billedet, hvis du har brug for et hint. Når du har et svar, kan du deltage i konkurrencen på vores Facebookside.

Hint

Du kan læse mere om regnearternes hierarki ved at klikke her. Husk, at rækkefølgen er:

• Parenteser
• Potenser og rødder
• Gange og dividere
• Plus og minus.

Løsning

Her skal vi huske regnearternes hierarki. Vi skal gange og dividere, før vi plusser og minusser. Svaret bliver derfor:

$$ 2 - 2 \cdot 2 + 2 + \frac{2}{2} + 2 \cdot 2 - 2 = 2 - 4 + 2 + 1 + 4 – 2 = 3. $$

Svaret på regnestykket er 3. 

Har du brug for hjælp til matematik?

I Matematikcenter har vi både fysiske og online lektiecaféer, der åbner op igen i uge 35. Klik her for at se, hvor i landet vi har fysiske lektiecaféer, eller klik her for at komme til den online lektiecafé, Webmatlive.