Sandsynligheder i Netflixserien Kaleidoscope

Netflix har i begyndelsen af 2023 udgivet serien Kaleidoscope, der i 8 afsnit fortæller om et bankkup. Seriens opbygning er dog ikke som de fleste andre serier; kronologien afhænger af hvem, der ser serien. De 7 første afsnit af serien bliver vist i en tilfældig rækkefølge, som varierer mellem forskellige Netflixbrugere. Tidsligt strækker serien sig fra 24 år før kuppet til 6 måneder efter - og det 8. og sidste afsnit man ser, er altid selve kuppet. 

Når nu de 7 første afsnit vises i tilfældig rækkefølge, hvad er så sandsynligheden for, at du og din ven får vist serien på præcis samme måde? Og hvad er sandsynligheden for at se afsnittene i kronologisk rækkefølge? Til begge spørgsmål er svaret 0,02%. Se her, hvordan vi har regnet det ud.

Castet fra Kaleidoscope

Sandsynligheden for at se serien i en bestemt rækkefølge

Der er 7 afsnit, der vises i tilfældig rækkefølge. De to spørgsmål, der blev stillet i introen, kan faktisk reduceres til det samme problem, nemlig hvad er sandsynligheden for at få én bestemt rækkefølge af afsnittene. Det vil både svare på spørgsmålet om, hvad sandsynligheden er for at se serien i kronologisk rækkefølge, da det svarer til én bestemt rækkefølge. Men det svarer også til sandsynligheden for, at du får samme oplevelse som din ven, da det også vil være én bestemt rækkefølge du skal ramme. Og da alle rækkefølger er lige sandsynlige, er det bare en enkelt beregning, der skal laves. 

Når man skal beregne sandsynligheden for et udfald, og alle mulige udfald er lige sandsynlige, skal man bruge følgende formel:

$$ P(X) = \frac{\text{Antal gunstige udfald}}{\text{Antal mulige udfald}}. $$

Her er \(P(X)\) sandsynligheden for at få et af de udfald, der opfylder kriteriet \(X\). I vores tilfælde er der kun ét gunstigt udfald, så vi skal blot bestemme nævnerens værdi. Når man har \(N\) elementer, kan de arrangeres på \(N!\) måder. De 7 afsnit kan altså arrangeres på 7! måder:

$$ 7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 = 5040 \text{ måder}.$$

Det vil altså sige, at der er 5040 mulige udfald. Nu kan sandsynligheden for et bestemt udfald beregnes:

$$ P(X) = \frac{1}{5040} \cdot 100 \% = 0{,}02 \%. $$

Det vil altså sige, at der er 0,02% sandsynlighed for at få vist de 7 afsnit i kronologisk rækkefølge, og der er også 0,02% sandsynlighed for, at du får den samme rækkefølge, som din ven fik.

Hvor lang tid tager det at se serien på alle de mulige måder?

Alt efter hvilken rækkefølge du ser episoderne i, vil det være en ny oplevelse at se serien. Hvis du nu gerne vil have hele oplevelsen med, og se serien på alle de mulige måder, hvor lang tid vil det så tage? Vi har allerede fundet ud af, at der er 5040 forskellige måder, man kan se serien på. Der er 8 afsnit, som varer omkring 45 minutter. Det vil altså sige, at den tid det tager at se serien, er:

$$ 8 \cdot 45 \mathrm{min} = 360 \mathrm{min} = 6 \mathrm{timer}. $$

Men du vil ikke bare se serien én gang. du vil se den 5040 gange. Derfor vil det tage dig:

$$ 6 \mathrm{timer} \cdot 5040 = 30240 \mathrm{timer} = 1260 \mathrm{døgn} \approx 3{,}5 \mathrm{år},$$

at se serien på alle de mulige måder. Og det er vel at mærke, hvis du ser serien hele tiden, døgnet rundt, uden pauser.