Risalamande

Nu er det snart juleaften, og til juleaften hører naturligvis risalamande og jagten på mandelgaven.

Vi har derfor undersøgt, om ens chancer for at få mandlen er bestemt af, om man tager først, sidst eller et sted midt i.

Vi kan konkludere, at såfremt alle spiser lige meget, er chancen for at få mandlen statistisk set den samme, uanset om man tager først eller fx sidst.

Sådan har vi regnet det ud:

Rundt om bordet sidder et antal personer. Vi kalder dette antal for p.

Vi har et bestemt antal lige store portioner risalamande, og vi kalder antallet af portioner for N. Vi antager, at alle kan få lige mange portioner, og vi siger, at du er nummer x til at få risalamande hver gang skålen går rundt. 

Når det er din tur til at tage, er der derfor x-1 personer, der allerede har fået.

Vi antager, at det er tilfældigt, hvor mandlen befinder sig i skålen - derfor er det vigtigt at røre rundt efter mandlen er puttet i. 

Person nr. 1 er den første til at tage og kan vælge sin portion risalamande frit. Personen vælger én ud af de N portioner, der er. Chancen for at få mandlen (P_mandel1) er derfor:

$$P_{\text{mandel1}}=\frac{1}{N}$$

Der er to muligheder, når person 1 vælger sin portion:

1. Person 1 får mandlen

2. Person 1 får ikke mandlen

Da sandsynlighederne tilsammen skal give 1, er sandsynligheden for at person nr. 1 ikke får mandlen:

$$P_{\text{ikke-mandel1}}=1 - \frac{1}{N}$$

Vi kan omskrive 1 til: $$\frac{N}{N}$$ Herefter kan vi sætte på fælles brøkstreg:

 $$P_{\text{ikke-mandel}}=\frac{N}{N} \cdot 1 - \frac{1}{N}= \frac{N - 1}{N}$$

Person nr. 2 har alle portionerne at vælge imellem bortset fra den portion, der allerede er taget af person 1. Sandsynligheden for at person 2 tager en portion med mandlen (P_mandel2) er derfor:

$$P_{\text{mandel2}} = \frac{1}{N - 1}$$

Det betyder, at sandsynligheden for at person nr. 2 ikke får portionen med mandlen er:

$$1 - \frac{1}{N-1} = \frac{N - 1 - 1}{N-1} = \frac{N - 2}{N - 1}$$

Her har vi igen skrevet 1 på en smart måde, denne gang havde vi blot N-1 i både tæller og nævner.

Person 3 har alle portionerne at vælge imellem bortset fra de to portioner, som personerne 1 og 2 tog. Sandsynligheden for at person 3 tager mandlen (P_mandel3) er altså $$P_{\text{mandel3}}\frac{1}{N - 2}$$

Det betyder at sandsynligheden for at person nr. 3 ikke får mandlen er : 

$$1 - \frac{1}{N - 2} = \frac{N - 2 - 1}{N-2} = \frac{N - 3}{N - 2}$$

Generelt er sandsynligheden for at person nr. n (hvor n er et tal mellem 1 og p) ikke får mandlen: $$P_{\text{n får ikke mandlen}} =\frac{N - n}{N - (n-1)}$$

Sandsynligheden for at man vil få mandlen i ens portion (portion nr. x) er derfor givet ud fra, at man frit kan vælge mellem de N-(x-1) tilbageværende portioner.

Sandsynligheden for at man får mandlen er derfor $$P_{\text{n får mandlen}}=\frac{1}{N - (x-1)}$$

Men for at man kan få mandlen, kræves det, at alle dem, der tog før en selv, ikke har fået mandlen.

For at finde den endelige sandsynlighed for at man får mandlen, skal vi gange to sandsynligheder sammen:

1. Sandsynligheden for at de andre ikke har fået mandlen

2. Sandsynligheden for at mandlen er i din portion

$$P_{\text{succes}} = \underbrace{\frac{N - 1}{N} \cdot \frac{N - 2}{N - 1} \cdots \frac{N - (x-2)}{N - (x-3)} \cdot \frac{N - (x-1)}{N - (x-2)}}_{\text{sandsynligheden (ssh.) for at dem før dig ikke får mandlen}} \cdot \underbrace{\frac{1}{N - (x-1)}}_{\text{ssh.for at man selv får den}}$$

Det kan ses, hvordan alle tællere vil ”blive spist” af en tilsvarende faktor i 

nævneren, hvorved den endelige sandsynlighed bliver:

$$ P_{succes} = \frac{1}{N}$$

Dette gælder for runde 1. Vi kan se, at den endelige sandsynlighed ikke afhænger af x, som var det nummer, man var i rækkefølgen, så længe alle får lige meget risalamande.

Hvis ingen har fået mandlen i 1. runde, må man gå videre til runde 2. Her er princippet det samme, men denne gang er der p+(x-1) personer, der har taget risalamande, før skålen når til en selv.  

Derfor er sandsynligheden for at man får mandlen i runde 2 (P_succes):

$$ \frac{N - 1}{N} \cdot \frac{N - 2}{N - 1} \cdots \frac{N - (p + (x-2))}{N - (p + (x-3))} \cdot \frac{N - (p + (x-1))}{N - (p + (x-2))} \cdot \frac{1}{N - (p + (x-1))} $$

Det er det samme som $$P_{\text{succes}}=\frac{1}{N}$$

Sandsynligheden for at få mandlen i runde 2 er altså den samme som i runde 1. 

Der er et bestemt antal portioner og derfor et bestemt antal runder, skålen kan gå rundt, nemlig:

$$\frac{N}{p}$$ 

Man har lige stor chance for at få mandlen i hver runde. Derfor er den totale chance for at få mandlen

$$P_{succes-total} = \sum_{i = 1}^{\frac{N}{p}} \frac{1}{N} = \frac{N}{p} \frac{1}{N} = \frac{1}{p}$$

Den totale sandsynlighed for at få mandlen er altså uafhængig af, om man tager først, sidst eller et sted midt imellem, da x ikke indgår i det endelige udtryk. Sandsynligheden er derimod afhængig af, hvor mange personer der skal dele risalamanden, hvis altså alle spiser lige meget.

Den eneste måde at være sikker på at få mandlen er altså ved at være alene om en portion risalamande (eller tage sin egen mandel med – men det er jo snyd).

Derfor kan vi konkludere, at du ligeså godt kan være sød og høflig og lade familiemedlemmer/venner tage først. Måske er der endda størst chance for at få mandlen, hvis man ikke tager først - mandlen ligger jo sjældent helt øverst.

Matematikcenter ønsker alle en matemagisk jul!