Kombinatorik og sandsynlighed

Man kan bruge kombinatorik i sandsynlighedsregning. Her kommer nogle eksempler på hvordan. Det kan være en god idé at læse afsnittet om kombinatorik først.

Eksempel 1

En skål indeholder 10 bolde, 5 røde, 3 blå og 2 gule.

1. Vi trækker 3 bolde. Hvad er sandsynligheden for at de alle sammen er røde?
2. Vi trækker 3 bolde. Hvad er sandsynligheden for, at 1 er gul og 2 er blå?
3. Vi trækker 4 bolde. Hvad er sandsynligheden for, at højst 1 er blå?

 

a)

Vores hændelse er, at alle tre trukne bolde er røde. Sandsynligheden for hændelsen kan udregnes som

$$P(H)=\frac{\text{Antal gunstige udfald}}{\text{Antal mulige udfald}}$$

Først finder vi de mulige udfald. Det må være antallet af måder, man kan trække 3 bolde ud af en skål med 10 bolde. Vi er ligeglade med rækkefølgen, vi trækker i, så derfor er antallet:

$$K_{10,3}=\frac{10!}{3!\cdot(10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot7!}=120$$

Nu skal vi regne antallet af gunstige udfald ud. Det svarer til alle de måder, hvor vi trækker alle tre bolde i rød farve. Da der er 5 røde bolde i alt, svarer det altså til, hvor mange forskellige måder, man kan trække 3 (røde bolde) ud af en mængde på 5 (røde bolde).

$$K_{5,3}=\frac{5!}{3!\cdot(5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=10$$

Nu kan vi regne sandsynligheden ud:

$$P(H)=\frac{\text{gunstig}}{\text{mulig}}=\frac{K_{5,3}}{K_{10,3}}=\frac{10}{120}\approx0,0833$$

Der er altså 8,33% sandsynlighed for, at vi trækker 3 røde bolde.

b)

Vi skal finde sandsynligheden for, at 1 bold er gul, og 2 blå.
Antallet af mulige udfald er det samme som ovenfor.

Når vi skal beregne antal gunstige udfald, svarer det til først at se, hvor mange muligheder man kan trække 1 gul bold ud af de 2. Dernæst se på hvor mange muligheder man kan trække 2 blå bolde ud af de 3. De to tal, man når frem til, skal man gange med hinanden for at få det totale antal muligheder pga. multiplikationsprincippet.

Først ser vi på antallet af muligheder for at trække 1 gul bold ud af en mængde på 2.

$$K_{2,1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$$

Nu ser vi på hvor mange måder, man kan trække 2 blå bolde ud af en mængde på 3 blå bolde.

Sandsynligheden for at trække 2 blå og 1 gul bold må derfor være:

$$P(H)=\frac{K_{2,1}\cdot K_{3,2}}{K_{10,3}}=\frac{2\cdot3}{120}=0,05$$

Der er altså 5% sandsynlighed for dette.

c)

Nu trækker vi 4 bolde, så antallet af mulige udfald er

$$K_{10,4}=\frac{10!}{4!\cdot(10-4)!}=\frac{10!}{4!\cdot6!}=210$$

Vi skal finde sandsynligheden for at højst 1 bold er blå. Vi får altså succes, hvis der er 0 blå bolde eller 1 blå bold.

Først ser vi hvor mange måder, vi kan trække 0 blå bolde på. Det svarer til at trække 0 bolde ud af de 3 blå, og 4 bolde ud af de øvrige 7 bolde (de gule og røde). Da begge disse ting skal være opfyldt, ganger vi dem med hinanden for at få antallet af muligheder.

$$K_{3,0}\cdot K_{7,4}=\frac{3!}{0!\cdot3!}\cdot\frac{7!}{4!\cdot3!}=1\cdot35=35$$

Nu ser vi, på hvor mange måder, vi kan trække 1 blå bold. Det svarer altså til at trække 1 bold ud af de 3 blå og 3 bolde ud af de øvrige 7.

$$K_{3,1}\cdot K_{7,3}=\frac{3!}{1!\cdot2!}\cdot\frac{7!}{3!\cdot4!}=3\cdot35=105$$

Da vi får succes både, hvis der er 0 blå bolde og hvis der er 1 blå bold, så skal vi lægge de to antal muligheder sammen for at få det samlede antal gunstige udfald.

$$P(H)=\frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}=\frac{(K_{3,0}\cdot K_{7,4})+(K_{3,1}\cdot K_{7,3})}{K_{10,4}}=\frac{35+105}{210}$$

$$=\frac{140}{210}\approx0,6667$$

Der er altså 66,67% sandsynlighed for, at man højst trækker 1 blå bold, hvis man har fire forsøg.

Eksempel 2

Hvad er sandsynligheden for at få en pokerhånd med 3 esser?

En pokerhånd består af 5 kort, og i alt er der 52 kort. Antallet af forskellige pokerhænder må derfor være:

$$K_{52,5}=\frac{52!}{5!\cdot47!}=2.598.960$$

At få en hånd med 3 esser svarer til at trække 3 esser ud af de 4 esser, samt at trække 2 øvrige kort ud af de 48 kort, der ikke er esser. Det bliver altså til

$$K_{4,3}\cdot K_{48,2}=\frac{4!}{3!\cdot1!}\cdot\frac{48!}{2!\cdot46!}=4\cdot1128=4512$$

forskellige hænder, der indeholder tre esser.

Nu kan vi udregne sandsynligheden

$$P(H)=\frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}=\frac{K_{4,3}\cdot K_{48,2}}{K_{52,5}}=\frac{4.512}{2.598.960}\approx0,00174$$

Der er altså kun 0,174 % chance for at få en hånd med tre esser i et spil poker.