Male påskeæg

Nu er det påske, og det betyder at der skal males på æg, så de bliver til fin påskepynt. At male på æg er en udbredt tradition i Danmark, og derfor har vi regnet på, hvor meget maling man bruger, når man maler påskeæg. Vi kommer frem til, at en tube på 100 mL maling, kan række til mere end 38 påskeæg.

Sådan har vi regnet det ud

Det er ikke nemt at finde overfladearealet af et æg. Volumen er heller ikke let at beregne, men her findes der andre metoder - fx. ved at nedsænke det i vandt, som Archimedes fandt ud af, som vi tidligere har skrevet om. Men det er ikke umuligt at beregne overfladearealet af et æg.

Profilkurven for et 8 cm højt æg kan beskrives med funktionen

$$f(x)=\sqrt{\frac{-9\cdot x^2 +144}{2\cdot x+17}} $$

Funktionens graf kan ses herunder:

Hvis denne kurve drejes 360° om x-aksen, vil der forekomme en æggeskal. For at vise et tværsnit af æggeskallen kan \( f(x) \) plottes sammen med \( -f(x) \):

Vi kan altså se, at det ligner et æg. Nu skal vi finde overfladearealet af det omdrejningslegeme, der forekommer når \( f(x) \) drejes 360° om x-aksen. Hvis \( f(x) \) er differentiabel i et interval, \( [a;b] \), kan det gøres med følgende formel:

$$ A = 2\cdot \pi \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x $$

Vores æg ligger i intervallet \( [-4;4] \), og funktionen er differentiabel heri, derfor kan vi bruge formlen. Vi bruger et CAS-værktøj til at udregne integralet:

$$ A = 2\cdot \pi \int_{-4}^4 f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x = 138.7 $$

Siden vi arbejder i cm, har vores æg et overfladeareal på 138,7 cm². Så langt så godt, nu mangler vi bare at finde ud af, hvor meget maling, der skal bruges til dette overfladeareal. 

Vi har fundet ud af, at man bruger cirka 0,125 liter maling pr. m². Omregnet til mL er det 125 mL maling pr. m². Der er 10.000 cm² på en m², så man bruger cirka 0,0125 mL maling pr. cm². Det kan vi gange med vores overfladeareal, for at finde ud af, hvor mange mL maling, der skal bruges til at dække ægget én gang:

$$ 0.0125 \mathrm{\frac{mL}{cm^2}} \cdot 138.7 \mathrm{cm^2} = 1.734 \mathrm{mL} $$

Men oftest dækker man ikke bare ægget med ét lag maling. Man kunne for eksempel male hele ægget en grundfarve, og derefter male ovenpå med flotte mønstre. Vi regner med, at æggets overflade bliver dækket cirka 1,5 gang. Derfor skal mængden af maling ganges med 1,5:

$$ 1.734 \mathrm{mL} \cdot 1.5 = 2.6 \mathrm{mL}$$

Der skal derfor bruges 2,6 mL maling til at male et æg. Hvis man har 100mL maling, kan det altså række til lidt over 38 påskeæg.

Kilder

http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm

https://mata3stx.systime.dk/?id=619

https://www.malgodt.dk/inspiration-til-boligen/diy-i-boligen/hvor-meget-maling-pr-m2