En fastelavnstønde fuld af slik
Vi har tidligere regnet på, hvor mange m&m's, der kan være i en fastelavnstønde. Her fandt vi ud af, at der kan være intet mindre end 60.111 m&m's i en enkelt fastelavnstønde. Udregningerne blev lavet med kompliceret matematik, så nu har vi prøvet at gøre problemet lidt simplere, så matematikken i udregningerne passer til elever i 4.-6. klasse.
Sidst vi regnede på det, var det klassiske m&m's uden peanuts. Denne gang regner vi på, hvor mange m&m's med peanuts der kan være i en fastelavnstønde, der er 60 cm høj, og har en diameter på 34cm. Vi bruger volumenberegning og den eksperimentelle metode, og kommer frem til, at der kan være hele 12.700 m&m's med peanuts i en fastelavnstønde!
Sådan har vi regnet det ud
I denne artikel regner vi på en fastelavnstønde, som om det var en perfekt cylinder. Det vil altså sige med perfekte cirkler som top og bund, og lige sider, som vist nedenfor. Det kan måske virke svært at udregne volumenet af sådan en form, men vi tager det skridt for skridt. Først skal vi regne arealet ud af top- og bundplader. Arealet af en cirkel kan regnes ud, når bare man kender radius, hvilket er det halve af diameteren. Formlen ser sådan ud:
$$ A = r^2 \cdot \pi $$
Vi regner med en diameter på 34 cm, så det vil sige en radius på 17 cm. Sætter vi det tal ind, får vi arealet af cirklen:
$$ A = (17 \mathrm{cm})^2 \cdot \pi = 908 \mathrm{cm^2} $$
Arealet svarer til, hvor mange små kvadrater på 1cm x 1 cm cirklen kan inddeles i, som også er vist på billedet. Nogle af kvadraterne er ikke hele, men to halve kan for eksempel tælles sammen til én hel. Cirklerne består altså hver af 908 små kvadrater, med sidelængde 1 cm.
Nu har vi arealerne af top- og bundplader i tønden, men det vi gerne vil finde, er voluminet af tønden. Hvis vi nu forestiller os, at cirklerne inddelt i 908 små kvadrater hver, blev 1 cm høje. Der ville nu være 908 små terninger i stedet for kvadrater, med sidelængder 1cm x 1 cm x 1 cm. Det ville altså være simpelt at finde rumfanget af denne, vi skulle bare gange med dens højde på 1cm, og får så 908 cm3. Men tønden er ikke kun 1 cm høj - den er 60 cm høj, så vi skal lægge 60 af de små cirkelskiver ovenpå hinanden, for at det svarer til tønden. Det vil altså sige, at hvis vi skal finde volumenet af hele tønden, så skal vi gange arealet af cirklen med den nye højde, altså 60 cm:
$$ V = 908 \mathrm{cm^2} \cdot 60 \mathrm{cm} = 54.480 \mathrm{cm^3} $$
Nu har vi fundet volumenet af tønden, det er 54.480 cm3. Der går 1000 cm3 på en liter, så hvis vi vil bestemme størrelsen i liter, må vi dividere med 1000:
$$ V = \frac{54.480 \mathrm{cm^3} }{1000 \frac{\mathrm{cm^3}}{\mathrm{L}}} = 54,48 \mathrm{L} $$
En fastelavnstønde, der er 60 cm høj og har en diameter på 34 cm, kan rumme 54,5 liter. Nu ser vi på, hvor mange m&m's med peanuts der kan være i tønden, ved hjælp af et eksperiment.
Den eksperimentelle metode
En måde at finde ud af, hvor mange m&m's der kan være i tønden, er selvfølgelig at fylde en hel tønde op med m&m's. Men det er rigtig mange m&m's man så skal bruge. Derfor har vi fundet en cylinderformet kop frem, som skal hjælpe os med at bestemme, hvor mange m&m's der er på et mindre volumen - og det kan så skaleres op til den store tønde. Koppen vi har brugt har en diameter på 9cm, den er 8,5cm høj, og herunder kan du se den:
Vi udregner volumenet på samme måde som før, arealet af cirklen i toppen/bunden ganget med højden:
$$ V = (4,5 \mathrm{cm})^2 \cdot \pi \cdot 8,5 \mathrm{cm} = 541 \mathrm{cm^3} $$
Nu har vi volumenet, som er 541 cm3. Tønden fandt vi ud af var 54480 cm3, hvilket er meget tæt på 100 gange større end koppen. Når vi ved, hvor mange m&m's der er i vores kop, kan vi gange det med 100, og så har vi antallet af m&m's, der kan være i tønden. Det næste vi skal gøre er, at fylde koppen op med m&m's, og se hvor meget det vejer. Det har vi gjort her:
Der kan være 330g m&m's med peanuts i den cylinderformede kop. Hvis vi så ved hvor meget én m&m vejer, kan vi finde ud af, hvor mange m&m's der er i koppen. Når vi snakker om m&m's med peanuts, er der meget stor variation i størrelse og vægt mellem de enkelte m&m's. Vi er derfor nødt til at finde en gennemsnitsvægt. Desuden er en almindelig køkkenvægt ikke præcis nok til at veje enkelte m&m's, for eksempel ville en både en m&m på 1,6g og 2,4g se ud til at veje 2g. En god måde at finde gennemsnitsvægten er derfor at veje flere m&m's på en gang, og så dividere med det antal m&m's, man har vejet. Vi har valgt at veje 20 m&m's, og håber på, at deres spredning i vægt passer til spredningen i vægt i en hel pose m&m's. Du kan se resultatet af vejningen her:
Ifølge vores måling vejer 20 m&m's 52g. Hvis vi dividerer denne vægt med 20, får vi gennemsnitsvægten for én m&m:
$$ \frac{52 \mathrm{g}}{20 \mathrm{m\&m}} = 2,6 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m\&m}} $$
En enkelt m&m vejer altså 2,6g. Nu er vi næsten i mål. Vi skal dividere vægten af m&m's i koppen med vægten af 1 m&m, og så har vi antallet af m&m's i hele koppen. Som vi fandt ud af tidligere, skal dette tal bare ganges med 100, og så har vi antallet af m&m's med peanuts, der vil kunne være i en fastelavnstønde. Det gør vi her:
$$ \frac{330 \mathrm{g}}{2,6 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m\&m}}} = 127 \mathrm{m\&m} $$
Der er 127 m&m's i vores cylinderformede kop, hvilket betyder at der i tønden kan være \( 100 \cdot 127 = 12.700 \) m&m's i fastelavnstønden! Det er mange m&m's, men ikke lige så mange som de 60.111, som vi kom frem til i vores tidligere artikel. Her regnede vi også med almindelige m&m's uden peanuts, som er mindre, så det giver mening. Hvis vi vil finde ud af, hvad de 12.700 m&m's i tønden ville veje, kan vi også gange vægten af dem i koppen med 100:
$$ 330 \mathrm{g} \dot 100 = 33.000 \mathrm{g} = 33 \mathrm{kg} $$
33 kg plus tøndens egen vægt ville den altså veje, det er da en tung tønde.
Det var en lang vej, men vi er endelig kommet i mål. Hvis ikke du var med på alle beregningerne, må du ikke miste modet, der var nogle af udregningerne, der var mere komplicerede, end dem man ser på mellemtrinnet.
