De gamle græske filosoffers opdagelser lever stadig!
Den 19. november 2020 er det international filosofidag, ifølge FN's mærkedagskalender. Filosofidagen finder sted hvert år den tredje torsdag i november. Det er måske ikke alle, der umiddelbart tænker, at filosofi har noget at gøre med matematik - men hvis vi går tilbage til de gamle grækere, var det næsten to sider af samme sag. Mange af de kendte græske filosoffer var også dem, der den gang beskæftigede sig med matematikken. Grækerne var det første folk, der troede på, at verden var organiseret på en matematisk, logisk måde, og ikke på en mystisk, uforklarlig måde. Ordet filosofi stammer også fra det græske ord philosophia, der er betyder kærlighed til viden. Mange af de ting vi ved i dag, bygger videre på det de gamle grækere fandt ud af, og tænkte sig frem til, allerede fra år 600 f. kr.
Pythagoras og geometrien
Et eksempel på en af de meget betydningsfulde grækere i matematikken, er Pythagoras. Han menes at være den første til at bevise det vi nu kender som Pythagoras' sætning om retvinklede trekanter, som langt de fleste kender:
$$ a^2+b^2=c^2 $$
Sætningen siger, at summen af kvadraterne (tallet i anden potens) af de to kateter i en retvinklet trekant, er lig med kvadratet af hypotenusen. Geometrien var et stort og vigtigt emne for grækerne. Platon grundlagde omkring år 387 f. kr. en skole for matematiske og filosofiske studier i Athen, og over skolens indgang stod der: "Lad ingen uden kendskab til geometri få adgang her". Det siger da noget om geometriens vigtighed!
Archimedes' lov
Et andet eksempel er Archimedes, der levede omkring 250 f. kr., og er ophavsmand til Archimedes' lov:
Et hvert objekt, helt eller delvist nedsunket i en væske, bliver påvirket af en opdrift lig tyngdekraften på vægten af væsken forskudt af objektet.
Denne lov siger, at hvis du fx synker et objekt på 1m3 ned i en væske, så vil opdriften på objektet være lig med tyngdekraften på 1m3 af væsken. Du kan forestille dig følgende: Du er på stranden, og har en stor, oppustet badebold med. Du vil gerne have badebolden helt dækket af vand, men det er svært. Hvis det lykkes dig at få hele den store badebold under vand, vil du kunne mærke en stærk kraft, der prøver at presse bolden op igen - den kraft svarer til tyngdekraften på en mængde vand, der er lige så stor som badebolden. Det svarer til, hvis du skulle bære en badebold af samme størrelse, men fyldt med vand i stedet for luft.
Guldsvindel
Det var også Archimedes, der i sit badekar lagde mærke til, hvordan vandstanden steg, når han lagde sig i det. Det viste sig at være en meget smart måde at bestemme et objekts volumen. Kongen var bange for, at hans kongekrone ikke var lavet af rent guld, men at der var blandet noget billigt metal i den. Archimedes fandt på, at man kunne veje kronen, og bestemme dens volumen ved at sænke den ned i vand, og måle hvor meget vandstanden steg. Når man kender volumen og vægt, kan man bestemme densiteten med følgende formel:
$$ \rho = \frac{m}{V} $$
Her bruges det græske bogstav rho som symbolet for densitet. m er massen, og V er volumen. Et bestemt materiale har altid samme densitet, for eksempel har guld densiteten 19,3 g/cm3. På den måde fandt man ud af, at kongens krone faktisk ikke var lavet af rent ægte guld. Rygterne siger, at den uærlige guldsmed blev henrettet, efter at hans snyd blev opdaget...
Exodus' arealer og volumener
Exodus var også en vigtig filosof og matematiker. Han står bag exhaustionsmetoden, som kan bruges til at bestemme arealer og volumener af komplicerede geometriske figurer. Metoden går ud på at dele figuren op i mindre figurer, som man godt kan finde arealet/volumenet af - fx hvis man ville kende volumenet af en slikkepind, så kunne man dele den op så man fandt volumenet af pinden som en cylinder, og så volumenet af en kugle, og lagde de to størrelser sammen.
Hvor mange græsfrø skal du bruge?
Et andet eksempel kunne være, hvis du skulle så græs på en plæne, hvor der fx er et hus, køkkenhave, indkørsel og en lille terrasse på. Du skal købe græsfrø til plænen, men ved ikke hvor stor plænen er. Grunden kunne se sådan her ud:
Plænen har et areal, der ikke er til at bestemme direkte. Men dette mærkelige areal kan deles op i firkanter og trekanter, som vi nemt kan finde arealet af:
Nu består arealet af 12 firkanter og 7 trekanter, som vi godt kan finde arealerne af, og lægge sammen. En anden måde at bestemme arealet kunne være at finde arealet af hele grunden, og så trække arealerne af huset, køkkenhaverne, terrassen og indkørslen fra.
Tankeeksperimenter
Filosoffer kan godt lide at kunne sætte sig ned, og tænke sig til sine resultater. Derfor er tankeeksperimentet en kendt filosofisk metode, hvor man forsøger at tænke sig frem til udfaldet af et eksperiment, der måske, måske ikke, ville kunne udføres i virkeligheden. Et meget kendt filosofisk tankeeksperiment er Zenons paradoks.
Who would win - Achilleus eller en skildpadde?
I Zenons paradoks forestiller man sig, at Achilleus - en stor helt fra oldgræsk mytologi - skal løbe om kap med en skildpadde. Achilleus lader skildpadden få et forspring på 100 meter, før han selv sætter i løb. Når Achilleus har løbet 100 meter, har skildpadden bevæget sig yderligere 10 meter. Når Achilleus har løbet de 10 meter, har skildpadden bevæget sig yderligere 1 meter, og så videre. På den måde kommer Achilleus aldrig til at overhale skildpadden, han formindsker kun dens forspring ud i det uendelige. Vi ved selvfølgelig med vores fornuft, at Achilleus kommer til at overhale skildpadden på et tidspunkt, men det er svært at retfærdiggøre, når man tænker på det på samme måde som Zenon. Men vi kan jo regne lidt på det, og vise, at Achilleus faktisk kommer til at overhale skildpadden.
Achilleus var en stor græsk helt, så det virker ikke usandsynligt at han kunne løbe 100 meter på 10 sekunder. Til sammenligning er verdensrekorden på 9,58 sekunder, mens de hurtigste "almindelige mennesker" vil kunne løbe 100 meter på 13 sekunder. Achilleus' hastighed vil derfor være:
$$ v = \frac{d}{t} = \frac{100\mathrm{m}}{10\mathrm{s}} = 10 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} $$
Vi kan bestemme Achilleus' position som funktion af tid med følgende formel:
$$ x(t) = v\cdot t + x_{start} $$
Her er v hastigheden, som vi har bestemt til 10m/s, t er tiden i sekunder, og \( x_{start} \) er hans startposition, som er 0m. Hans position, som vi vil kalde xa, er derfor beskrevet ved:
$$ x_a(t) = 10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot t $$
Vi kan bestemme en funktion for skildpaddens position på samme måde. Hvis Achilleus løber 100 meter på 10 sekunder, betyder det, at skildpadden løber 10 meter på 10 sekunder. Dens hastighed er dermed 1m/s. Skildpadden starter ikke fra 0m som Achilleus, men fra sit 100 meters forspring, og derfor er dens position givet ved:
$$ x_s(t) = 1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot t + 100 \mathrm{m} $$
Hvis vi plotter de to udtryk, kan vi se, hvornår deres grafer skærer hinanden, og dermed hvornår Achilleus passerer skildpadden:
Ganske rigtigt skærerlinjerne hinanden, og Achilleus bliver ikke bare ved med at formindske skildpaddens forspring som i paradokset. Ved disse hastigheder vil Achilleus passere skildpadden efter bare 111 meter, som er løbet på 11,1 sekunder.
Tankeeksperimenter er også blevet brugt i videnskaben i nyere tid, af for eksempel Galilei, Newton og Einstein. Hvis du synes det er spændende, kan du fx selv undersøge Galileis tankeeksperiment om frit fald, Newtons om planetbaner og mange flere.