Planlæg en turnering

Man kan afholde turneringer inden for alle mulige forskellige aktiviteter, fx sport, kortspil, skak eller sten, saks, papir. Der findes også mange måder man kan planlægge en turnering på. Når man skal vælge en type turnering, kan man tage højde for faktorer som hvor mange hold der skal spille, er der variationer i hvor gode holdene er, vil man gerne have at alle hold skal spille mod alle andre hold, og mange andre ting. 

Typer af turneringer

Der findes mange typer af turneringer, men i denne artikel, vil vi se på disse to:

• Pokalturneringer, hvor kun vinderen af hver kamp går videre til næste kamp
• Alle-mod-alle-turneringer, hvor alle hold/deltagere møder alle andre hold/deltagere i turneringen.

Vi kalder det samlede antal af kampe der spilles for \(k\), og antallet af hold/deltagere i turneringen for \(N\). Det viser sig, at for en pokalturnering skal der spilles \(k=N-1\) kampe i alt, hvor der for en alle-mod-alle-turnering skal spilles \(k=\frac{1}{2}\cdot \big(N^2-N\big) \) kampe i alt. Læs med nedenfor, for at se, hvordan vi er kommet frem til det.

Pokalturnering

I en pokalturnering har man i første runde \(N/2\) kampe, da alle hold skal spille mod ét andet hold. Det er kun vinderen der går videre til næste runde, hvor der vil være \(\frac{N/2}{2} = N/4\) kampe osv., indtil der kun er et hold tilbage. Vi bliver nødt til at undgå, at der i en af runderne er et ulige antal hold, der skal spille. Man kan derfor kun lave en pokalturnering, hvis antallet af hold kan skrives som:

$$N = 2^n, \qquad n \in \mathbb{N}. $$

Dette skal læses som: Antallet af hold kan skrives som 2 ganget med dig selv \(n\) gange, hvor \(n\) er et helt, positivt tal. Fx kan man arrangere en pokalturnering for 8 hold, da det kan skrives \(8=2\cdot 2\cdot 2 \), hvor \(n\) i dette tilfælde er 3. Men man kan ikke gøre det for 10 hold, for det kan ikke skrives på denne måde. Med 10 hold vil der i anden runde være 5 hold tilbage, som ikke går op med at alle kan spille netop én kamp den runde. Vi kan vende dette resultat om, og sige, at i runde \(m\) vil antallet af kampe være:

$$ k_m = \frac{N}{2^m}.$$

Det samlede antal runder vil være \(n\), som kan bestemmes ved:

$$ N = 2^n \Leftrightarrow n= \log_2(N).$$

Hvis du vil læse mere om logaritmeregneregler, kan du klikke her. Vi kan nu opstille en sum, for at bestemme hvor mange kampe, der bliver spillet i alt. Vi starter i runde 1, og slutter i den runde, hvor der kun er én kamp, nemlig runde \(n=\log_2(N)\). Summen opstilles, og beregnes med et CAS-program:

$$ k = \sum_{m=1}^{\log_2(N)} \frac{N}{2^m} = N-1. $$

Du kan læse mere om summer her. Det samlede antal kampe der spilles, vil altså være N-1. Det var en lang beregning, for at komme frem til et relativt simpelt resultat - men så snart man har udledt formlen, kan man til enhver pokalturnering bare bruge resultatet. Nu ved vi altså, at antallet af kampe der spilles i alt, er antallet af hold minus 1.

Alle-mod-alle-turnering

Hvis alle hold skal spille kamp mod alle andre hold, skal der spilles mange flere kampe end i en pokalturnering. Antallet af kampe, der skal spilles, er ækvivalent med hvor mange måder man kan udvælge 2 hold fra en pulje på \(N\). Den formel kender vi fra kombinatorik:

$$ K_{N,2} = \frac{N!}{(N-2)! \cdot 2!}. $$

Dette vil være antallet af kampe, der skal spilles. Det kan omskrives lidt, så vi får et simplere udtryk for antallet af kampe, \(k\):

$$ k = \frac{N\cdot (N-1) \cdot (N-2)!}{(N-2)! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{N\cdot (N-1)}{2} = \frac{1}{2} \cdot \big(N^2-N \big).$$

Antallet af kampe, der skal spilles, vil altså være \(\frac{1}{2} \cdot \big(N^2-N \big) \).

Sammenligning

Nedenfor ses en tabel, der sammenligner antallet af kampe for de to turneringstyper:

Antal hold	Antal kampe, pokal	Antal kampe, alle-mod-alle
4	3	6
8	7	28
16	15	120
32	31	496

Det bliver altså hurtigt et absurd stort antal kampe der skal spilles, hvis alle hold skal spille mod hinanden. Ved mange hold, kan det altså give god mening, at bruge modellen for pokalturneringen i stedet. Men med få hold, kan man måske få et mest fair resultat, ved at lade alle spille mod hinanden.