Hvad bruger du din dag på?

Denne #DerErMatematikIAlt-artikel er skrevet med mellemtrinnet, altså elever i 4.-6. klasse, som målgruppe. Der bliver brugt brøkregning, herunder forkortelse af brøker, og hvordan man kan lægge brøker sammen/trækker dem fra hinanden.

Nogle gange flyver dagene af sted, andre gange føles de som hele uger. Mange dage har også en del ting til fælles. Vi skal for eksempel altid sove, spise, børste tænder, og i hverdagene skal man også i skole. Men hvor meget af vores dag bruger vi egentlig på hvad? 

En helt almindelig dag

En ganske almindelig hverdag kunne for eksempel se således ud:

Aktivitet	Tid brugt
Søvn	8 timer
Skole	6 timer
Lave lektier	2 timer
Gå en tur udenfor	1 time
Spille computerspil	1 time
Rydde op/gøre rent på værelset	1 time
Spise	1 time
Se TV	2 timer
Andre ting (børste tænder, bad, toilet)	2 timer

Vi ved jo, at der er 24 timer på et døgn. Derfor må vi heller lige tjekke, at alle aktiviteters varighed tilsammen giver 24 timer. Det kan vi gøre ved at tælle hvor mange af dem der har en bestemt varighed, og gange det antal med varigheden. Det skal gøres for alle forskellige varigheder, og de skal lægges sammen:

$$ 4 \cdot 1 \mathrm{time} + 3 \cdot 2 \mathrm{timer} + 6 \mathrm{timer} + 8 \mathrm{timer} = 24 \mathrm{timer} $$

For at lave dette regnestykke, skal man have styr på regnearternes hierarki. Hvis du vil læse mere om det, kan du læse en tidligere artikel, der forklarer hierarkiet. 

Hvor meget tid bruger jeg på at sove?

En oplagt måde at dele døgnet op på, er i 24.-dele. 1 time svarer til \( \frac{1}{24} \) af døgnet, 2 timer svarer til \( \frac{2}{24} \), osv. Vi kan derfor sige, at \( \frac{8}{24} \) af døgnet bliver brugt til at sove. Det er dog lidt svært at forholde sig til, for hvor meget er \( \frac{8}{24} \) egentlig? Ofte kan brøker forkortes, og det er også tilfældet her. \( \frac{8}{24} \) svarer nemlig lige præcis til \( \frac{1}{3} \), hvilket kan være lidt lettere at se for sig. 

Når vi taler om brøker, er det altid tilladt at enten gange eller dividere med et tal, så længe man gør det både i tælleren (det øverste tal) og i nævneren (det nederste tal). Når vi vil forkorte \( \frac{8}{24} \), er vi altså så heldige, at 8 går op i begge tal. 8 divideret med 8 giver 1, og 24 divideret med 8 giver 3. Derfor ender vi ud med en tredjedel af dagen, der bliver brugt på at sove.

Hvor meget fritid har jeg?

Lad os sige, at du ser din gåtur, computerspil, spisning og TV som fritidsaktiviteter. Det kan vi lægge sammen på følgende måde:

$$ \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{1+1+1+2}{24} = \frac{5}{24} $$

Når brøker har samme nævner, kan man altså bare lægge tællerne sammen, og beholde nævneren som den er. Igen er det lidt nemmere at se for sig, hvis man kigger på brøker med en mindre nævner. To halve lagt sammen skulle meget gerne give én hel. Når vi lægger dem sammen således: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \), så passer det.

Før kunne vi forkorte \( \frac{8}{24} \) til \( \frac{1}{3} \). Denne gang er vi ikke så heldige, at vi kan finde et tal (udover 1), der går op i både 5 og 24. Derfor er brøken så forkortet, som den kan være.

Lad os så sige, at du har skiftet mening om hvad du ser som dine fritidsaktiviteter. Spisning er noget du er nødt til at gøre hver dag, så det vil du ikke tælle med alligevel. Nu skal vi have trukket \( \frac{1}{24} \) fra de \( \frac{5}{24} \), på samme måde som vi gjorde før:

$$ \frac{5}{24} - \frac{1}{24} = \frac{4}{24} $$

Nu ender vi ud med \( \frac{4}{24} \). Det er en brøk, der godt kan forkortes, da 4 går op i både tæller og nævner. Vi får nu at \( \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \), så det er altså \( \frac{1}{6} \) af din dag, du bruger på fritidsaktiviteter.

Visuel præsentation af en almindelig dag

En oplagt måde at vise visuelt hvad dagen bliver brugt på, kunne være med et lagkagediagram. Nedenfor til venstre er vist et lagkagediagram med hver enkelt aktivitet, og til højre et diagram, hvor aktiviteterne er blevet delt op i overkategorier.