Planens ligning
Man kan beskrive et plan ved hjælp af en ligning. Planens ligning er
$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$
Her er (x0, y0, z0) et punkt i planen og
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$
er en normalvektor til planen.
Man kan også skrive ligningen om til
$$ax+by+cz+d=0$$
hvor man har ganget parenteserne ud og samlet alle konstanterne i én, nemlig d.
At planen har denne ligning, betyder, at planen består af alle de punkter (x,y,z), der opfylder ligningen. Dvs. alle de punkter (x,y,z), der gør, at der står det samme på venstre og højre side af lighedstegnet.
Man kan afgøre om et punkt ligger i et plan ved at indsætte dets koordinater i ligningen, og se om man får 0 ud af det. F.eks. kunne man ønske at finde ud af om (2, 4, 5) ligger i planen med ligningen 3x+5y-2z+7=0.
Vi sætter ind
$$3\cdot2+5\cdot4-2\cdot5+7=6+20-10+7=23\neq0$$
Da punktet ikke opfylder ligningen, ligger det ikke i planen.
Finde ligningen for planen, hvis man kender to vektorer
Hvis man tegner to ikke-parallelle vektorer (fra samme begyndelsespunkt), vil de udspænde et plan. Det vil sige, at man kan finde én (og kun én) plan, som de begge to ligger i. Det er let at opskrive en ligning for det plan. Alt vi skal kende er et punkt i planen og en normalvektor til planen.
Som punkt kan vi bruge begyndelsespunktet for vektorerne. Som normalvektor kan vi bruge krydsproduktet af de to vektorer, fordi krydsproduktet står vinkelret på begge vektorer.
Hvorfor ser ligningen sådan ud?
Lad os prøve at se på, hvorfor planens ligning ser ud som den gør. Vi ved, at normalvektoren står vinkelret på alle vektorer i planen. Hvis punktet P(x,y,z) ligger i planen, så må vektoren
$$\overrightarrow{P_0P}$$
også ligge i planen, fordi den er en vektor mellem to punkter i planen.
Det betyder, at den er vinkelret på normalvektoren
$$\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{P_0P}$$
Og det betyder så igen, at deres prikprodukt er 0.
$$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$$
Vi skriver de to vektorer ud med koordinater
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{pmatrix}=0$$
Nu prikker vi vektorerne sammen, og får
$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$
hvilket er planens ligning.