Partielle afledede

Partielle afledede er en udvidelse af almindelig differentiation, der bliver brugt når man har at gøre med funktioner af flere variable. Det handler kort og godt om, at man på sædvanlig vis differentierer for én variabel, mens den anden variabel sættes som en konstant.

Alle regneregler for differentiation i én variabel \(+, - , *, /\), sammensat funktion og invers funktion kan også benyttes ved partielle afledede.

Denne fremgangsmåde kan altså ikke bare anvendes til funktioner af to variable, men også til funktioner af flere variable.

Der er forskellig notation for de partielle afledede. Det kan f.eks. være
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) & = f_x(x,y) \quad \text{og} \\
\frac{\partial}{\partial y} f(x,y) & = f_y(x,y)
\end{align*}

I den første af de to funktioner differentierer vi \(f(x,y)\) i forhold til x. Altså anser vi blot y som en konstant i funktionen.

Eksempel

Vi kigger på ligningen:
\(
f(x,y)=x^3 + x^2y^3-2y^2
\)

Hvis man ser y som en konstant, så er den partielle afledede ift. x
\(
\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)=3x^2+2xy^3
\)

Hvis man i stedet ser x som en konstant, så er den partielle aflede ift. y
\(
\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)=3x^2y^2 -4y
\)