Hvad er differentialligninger?
En differentialligning er kort og godt en ligning, hvor der indgår en differentieret funktion som en af de ubekendte.
Løsningen til en differentialligning er de funktioner, der får ligningen til at være sand.
Vi leder altså ikke efter talløsninger som i almindelige ligninger, men efter funktioner, der opfylder, at hvis man indsætter dem og deres afledede (differentierede), så står der det samme på begge sider af lighedstegnet. Eftersom løsningen er en funktion, så må den godt afhænge af en anden variabel (for det meste \(x\)).
Der er forskellig notation for den differentierede funktion i
differentialligninger. Det kan f.eks. være
$$y'\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y \qquad f'(x) \qquad \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f$$
Men de to første, er de mest almindelige.
Partikulær løsning og fuldstændig løsning
Lad os se på en meget simpel differentialligning
$$y'=5$$
Ved at integrere på begge sider, får vi, at
$$y=f(x)=5x$$
er en løsning til differentialligningen. Men
$$y=f(x)=5x+8$$
er også en løsning til differentialligningen.
Disse to løsninger, kalder man partikulære løsninger. Der er nemlig uendeligt mange løsninger til differentialligningen, og disse to er blot nogle af løsningerne.
Den fuldstændige løsning på differentialligningen ville være
$$y=f(x)=5x+c,\qquad c\in\mathbb{R}$$
Ved at indsætte forskellige tal på \(c\)'s plads, finder man de partikulære løsninger.
Ofte vil en opgave stilles med en startbetingelse, der afgør hvilken af de partikulære løsninger, man er på udkig efter.
F.eks.
$$y'=5,\qquad y(2)=4$$
Først finder vi den fuldstændige løsning
$$y=f(x)=5x+c$$
og så finder vi den partikulære løsning ved at indsætte punktet \((2, 4)\) i ligningen og isolere \(c\).
$$
\begin{align}
4& = 5\cdot2+c \Leftrightarrow\\
4 & = 10+c \Leftrightarrow\\
c & = -6.
\end{align}
$$
Altså er løsningen til den givne opgave
$$y=f(x)=5\cdot x-6$$