Løsninger til differentialligninger

Herunder følger et skema over forskellige differentialligninger og deres fuldstændige løsninger.

I de næste par afsnit vil vi gå mere i dybden med nogle af de forskellige typer. Dette skal altså mest ses som en oversigt.

$$\begin{array}{l|l}
\mathrm{differentialligning} & \mathrm{fuldstændige} \, \mathrm{løsning} \\
\hline
y'=k & y=k\cdot x+c \\
\hline
y'=h(x) & y=\int h(x) \, \mathrm{d}x \\
\hline
y'=k\cdot y & y=c\cdot e^{kx} \\
\hline
y'=b-ay & y=\frac{b}{a}+c\cdot e^{-a\cdot x}\\
\hline
y'=y\cdot(b-ay) & y=\frac{b/a}{1+c\cdot e^{-bx}}\\
\hline
y'=ay\cdot(M-y) & y=\frac{M}{1+c\cdot \exp\left(-a\cdot M\cdot x\right)}\\
\hline
y'+a(x)\cdot y=b(x) & y=e^{-A(x)}\cdot\int b(x)\cdot e^{A(x)}\, \mathrm{d}x+c\cdot e^{-A(x)}
\end{array}$$

Skemaet skal forstås på den måde, at \(c\) er en konstant, som afhænger af hvilken begyndelsesbetingelse, vi har fået (se evt. afsnittet om partikulære og fuldstændige løsninger)

I den nederste linje er \(a(x)\) og \(b(x)\) to funktioner, der afhænger af \(x\) (dvs. der kun indgår faste tal og \(x\)'er i udtrykkene). \(A(x)\) skal forstås som en (vilkårlig) stamfunktion til \(a(x)\).

For at forstå, hvordan skemaet fungerer, kommer vi med et par eksempler.

Eksempel 1

Hvis vores differentialligning er

$$y'=5y\cdot(2-y)$$

så siger skemaet (næstsidste linje), at den fuldstændige løsning er

$$y=f(x)=\frac{2}{1+c\cdot e^{5\cdot(-2)\cdot x}}=\frac{2}{1+ce^{-10x}}$$

Eksempel 2

Hvis vores differentialligning havde været

$$y'+6x\cdot y=18x$$

så siger skemaet (sidste linje) at

$$\begin{align}
y & = f(x) = e^{-3x^2} \int 18x \cdot e^{3x^2} \, \mathrm{d}x + ce^{-3x^2} = e^{-3x^2} \int 3 \cdot e^{t} \, \mathrm{d}t+ce^{-3x^2} \\
& = e^{-3x^2}\cdot3e^{3x^2}+ce^{-3x^2} = 3e^0+ce^{-3x^2} = 3+ce^{-3x^2}
\end{align}$$

Her har vi bl.a. substitueret \(t=3x^2\), \(\mathrm{d}t = 6x \, \mathrm{d}x\) for at løse integralet.