Areal mellem to grafer
Hvis vi ønsker at finde arealet mellem to grafer, kan vi også bruge det bestemte integral. Det kræver, at den ene funktion har større funktionsværdier end den anden på hele intervallet [a;b]. Hvis f har større funktionsværdier end g, er arealet mellem de to funktioner givet ved
$$Areal_{fg}=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$$
Bemærk, at det er ligegyldigt, om de to funktioner har positive eller negative funktionsværdier på intervallet, når bare f har større funktionsværdier end g.
Et eksempel kunne være, hvis vi ønskede at finde arealet af den punktmængde M, der er afgrænset af
$$f(x)=-0,5x^2+3x-3$$
og
$$g(x)=x-3$$
Først skal vi finde integrationsgrænserne a og b. Det er de punkter, hvor de to funktioners grafer skærer hinanden. Disse findes ved at sætte de to forskrifter lig hinanden.
$$f(x)=g(x)$$
$$-0,5x^2+3x-3=x-3$$
$$-0,5x^2+2x=0$$
Dette er en andengradsligning, som vi løser ved nulreglen. Først sætter vi -0,5x uden for parentes.
$$-0,5x(x-4)=0$$
$$x=0 \vee x=4$$
Integrationsgrænserne må altså være a=0 og b=4.
Vi skitserer graferne for at finde ud af hvilken af funktionerne, der er størst på intervallet [0;4].
Vi kan se, at f har større funktionsværdier end g på hele intervallet [0;4].
Hvis vi ikke havde mulighed for at tegne graferne, så kunne vi have taget en vilkårlig x-værdi i intervallet og set hvilken funktionsværdi, der var størst. Mellem to skæringspunkter vil den ene nemlig være større end den anden i alle punkter, og derfor kan man frit vælge. F.eks.
$$f(2)=-0,5\cdot2^2+3\cdot2-3=-2+6-3=1$$
$$g(2)=2-3=-1$$
Nu ved vi hvilken funktion, der er størst, og vi kender integrationsgrænserne. Så er det bare med at komme i gang med selve integrationen.
$$A_M=\int_0^4(f(x)-g(x))\,dx=\int_0^4-0,5x^2+3x-3-(x-3)\,dx$$
$$=\int_0^4-0,5x^2+2x\,dx=\left[-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2+1}x^{2+1}+2\cdot\frac{1}{1+1}x^{1+1}\right]_0^4$$
$$=\left[-\frac{1}{6}x^3+x^2\right]_0^4=\frac{-1}{6}\cdot4^3+4^2-(\frac{-1}{6}\cdot0^3+0^2)=\frac{-64}{6}+16-0$$
$$=5,333...$$