Dobbeltvinkelformlerne

Ligesom additionsformlerne er også dobbeltvinkelformlerne brugbare, når man skal regne trigonometriske funktioners værdier ud uden brug af lommeregner.

Faktisk er dobbeltvinkelformlerne et særtilfælde af additionsformlerne, hvor de to vinkler man lægger sammen bare er ens.

Dobbeltvinkelformlerne ser således ud

$$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$$

$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$

Lad os se, hvordan de kan anvendes.

Vi ved at

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$$

Vi ønsker at beregne

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)= \, ???$$

Vi omskriver ved hjælp af dobbelvinkelformlerne

$$\begin{align}
\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \sin\left(2\cdot\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \\[0.3em]
&= 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$$