Gradienten af en funktion

Når man arbejder med funktioner af flere variable, kan man finde det der hedder gradienten af funktionen. Gradienten er en vektor, der fortæller hvilken retning funktionen vokser mest i et givet punkt, og hvor meget funktionen vokser i den retning. Gradienten af en funktion \(f(x,y) \) skrives \( \nabla f(x,y)\), hvor \( \nabla \) kaldes nabla-operatoren, og betegner i to dimensioner vektoren:

$$\nabla \equiv \bigg(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\bigg)$$

Symbolet \( \equiv \) betyder, at noget er defineret på denne måde. For eksempel er nabla defineret som ovenfor. Når vi tager gradienten af vores funktion \(f(x,y)\) får vi altså:

$$\nabla f(x,y) = \bigg(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\bigg) f(x,y) = \bigg(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) ,\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)\bigg)$$

Det første koordinat er funktionen partielt afledt med hensyn til x, og det andet koordinat er funktionen partielt afledt med hensyn til y. Nabla-operatoren findes også i flere dimensioner, for eksempel \( (x,y,z) \):

$$\nabla \equiv \bigg(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\bigg)$$

Men i denne gennemgang holder vi os til to dimensioner. Gradienten i et bestemt punkt, \( (x_0,y_0) \) er altså givet ved:

$$\nabla f(x_0,y_0) =\bigg(\frac{\partial}{\partial x} f(x_0,y_0) ,\frac{\partial}{\partial y} f(x_0,y_0)\bigg)$$

Den vektor vi får ud, kaldes gradientvektoren, og vil pege i den retning funktionen vokser mest, og størrelsen af den vil vise, hvor meget funktionen vokser, som nævnt tidligere.

Lad os tage et eksempel. Vi ser på funktionen:

$$f(x,y)=x^2+3xy+4y+7$$

Vi ønsker nu at bestemme gradientvektoren i punktet (5,2). Til at starte med finder vi gradienten af funktionen. For at finde denne, skal funktionen partielt differentieres, både med hensyn til x og y:

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2+3xy+4y+7) = 2x+3y$$

$$\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2+3xy+4y+7) = 3x+4$$

De to partielt afledte funktioner er nu de to koordinater i gradienten:

$$ \nabla f(x,y) = (2x+3y,3x+4)$$

For at finde gradientvektoren i punktet (5,2), skal vi nu bare indsætte værdierne \(x=5\) og \(y=2\) i gradienten:

$$\nabla f(5,2) = (2\cdot 5+3\cdot 2,3\cdot 5+4) = (16,19)$$

Og så har vi altså vores gradientvektor for funktionen i punktet (5,2).