Frihedsgrader

Hvad er en frihedsgrad?

Ordet frihedsgrad dækker over hver enkelt uafhængigt datapunkt, der kan variere og stadigvæk indgå i udregningen af en parameter.
Frihedsgrader er nogle gange noteret med det græske bogstav \(\nu\) (Ny), DOF (Degrees Of Freedom) eller bare df.

Frihedsgrader i en \(\chi ^2\)-test

I Tabel 1 nedenfor er givet en \(2\times2\) tabel. En sådan \(2\times2\) tabel vil have 1 frihedsgrad, da de forskellige observationer skal summere op til det totale antal observationer, her n=20.

	\(A_1\)	\(A_2\)	Total
\(B_1\)	?	5	5+?
\(B_2\)	5	5	10
Total	5+?	10	20

I de udvidede tilfælde med r rækker og k kolonner gælder at \(\textit{df=(r-1)} \times \textit{(k-1)}\).
NB: I tilfældet med r rækker og 1 kolonne, gælder at \(\textit{df=r-1}\).

	\(A_1\)	\(A_2\)	\(A_3\)	\(A_4\)	\(A_5\)	Total
\(B_1\)	?	?	5	15	10	40
\(B_2\)	?	?	0	20	5	40
Total	10	15	5	35	15	80

 

Tabel 2 vil have 4 frihedsgrader. Det forstås at man frit vil kunne variere indholdet af 4 celler, og resten vil så være låst i forhold til de bestemmelser, der gør sig gældende.

Frihedsgrader i en t-test

Hvis man har en talrække på n tal: \(n_1 , n_2, ... n_i\) vil man have \(i-1\) frihedsgrader til at udregne gennemsnittet.
Hvis man tester for gennemsnittet med 10 måleresultater vil man derfor have \(\textit{df}=10-9\)frihedsgrader. Hvis man efterfølgende også estimerer variansen vil man have endnu en frihedsgrad mindre, da den første er brugt til at udregne gennemsnittet, som indgår i udregningen af varians.
Dette er vigtigt at have in mente når man udregner konfidensintervaller hvor

\(CI_\alpha = \bar{x} \pm t(\alpha, df) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\), hvor \(t(\alpha, df)\) er din t-score på konfidensniveau \(\alpha\) med df frihedsgrader.