Stationære punkter

Stationære punkter for en funktion \(f(x,y)\) er de punkter, hvor funktionens gradient er lig nulvektoren. Det betyder altså, at begge koordinater i gradienten skal være 0, dvs.:

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) = 0 \quad \text{og} \quad \frac{\partial}{\partial y}f(x,y) = 0$$

Det er i de stationære punkter vi kan finde de såkaldte ekstrema, altså lokale minimum og maksimum. Vi kan også finde det der kaldes et saddelpunkt, som vil blive beskrevet senere.

Hvis vi for eksempel ser på funktionen \( f(x,y)=3x^3+4y^3+6xy^2-9x^2 \). De partielt afledede er:

$$ f_x(x,y) = 9x^2+6y^2-18x \quad \text{og} \quad f_y(x,y)=12y^2+12xy$$

Vi starter med at se på den y-afledede. Vi sætter et y udenfor parentesen, og bruger nulreglen til at bestemme to mulige værdier for y:

$$ 12y^2+12xy = 0 \Leftrightarrow 12y(y+x)=0 \Leftrightarrow y=0 \vee y=-x$$

Nu løser vi ligningen for den x-afledede i hvert af de to tilfælde, først y = 0:

$$y=0 \Leftrightarrow 9x^2+6y^2-18x = 9x^2-18x = 9x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=2$$

Og nu y = -x:

$$y=-x \Leftrightarrow 9x^2+6x^2-18x = 15x^2-18x = x(15x-18) = 0 \\ \Leftrightarrow x=0 \vee x=\frac{18}{15}=\frac{6}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Vi har nu fundet tre stationære punkter. For y = 0 har vi mulighederne x = 0 og x = 2. For y = -x har vi muligheden x = \(\frac{6}{5} \), y = \(-\frac{6}{5} \). Vores tre punkter er derfor:

$$ (0,0), (2,0) \quad \text{og} \quad \bigg(\frac{6}{5},-\frac{6}{5} \bigg) $$

Arten af et stationært punkt

De stationære punkter vi har fundet, kan enten være minima, maksima eller saddelpunkter. For at bestemme det stationære punkts art, må vi indføre matrixregning. En matrix kan ses lidt som en vektor, som både har flere rækker og søjler. Vi starter med at indføre følgende forkortelser for de andenafledede funktioner: 

$$ \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) = f_{xx} \quad \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) = f_{yy} \quad \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f(x,y) = f_{xy} $$

I udtrykket for funktionen afledt både med hensyn til y og x kan man se, at det er ligegyldigt hvilken rækkefølge man differentierer i, det giver det samme. Dette gælder altid, og kaldes Youngs sætning. Når man har de tre størrelser, sættes de sammen til det, der kaldes Hesse-matricen:

$$ Hf \equiv \pmatrix{f_{xx} & f_{xy} \cr f_{xy} & f_{yy}} $$

Når man har fundet alle elementerne til Hesse-matricen og opstillet den, skal man løse det, der kaldes en egenværdiligning eller determinantligning. Helt generelt finder man determinanten af en 2x2-matrix på følgende måde:

$$ \bigg| \pmatrix{a & c \cr b & d} \bigg| = a\cdot d-b\cdot c $$

De lodrette streger omkring matricen angiver, at det er determinanten. I en egenværdiligning trækker man nu en værdi, som vi kan kalde z, fra i diagonalen, og sætter determinanten af den nye matrix lig 0. I praksis gøres det sådan:

$$ \bigg| \pmatrix{a-z & c \cr b & d-z} \bigg| = (a-z)\cdot (d-z)-b\cdot c =0 $$

Og vi ønsker så at finde løsningerne for z. Hvis vi vender tilbage til vores Hesse-matrice ser det således ud:

$$ \bigg| \pmatrix{f_{xx}-z & f_{xy} \cr f_{xy} & f_{yy}-z} \bigg| = (f_{xx}-z)\cdot (f_{yy}-z)-f_{xy}\cdot f_{xy} =0 $$

For at bestemme arten af et stationært punkt, skal vi indsætte punktets koordinater, og løse ligningen for \(z_1\) og \(z_2\). Fortegnet på \(z_1\) og \(z_2\) bestemmer nu arten efter reglerne:

Fortegn	Art
\(z_1\) og \(z_2\) er begge positive	f har lokalt minimum i \((x_0,y_0)\)
\(z_1\) og \(z_2\) er begge negative	f har lokalt maksimum i \((x_0,y_0)\)
\(z_1\) og \(z_2\) har forskelligt fortegn	f har hverken lokalt minimum eller maksimum i \((x_0,y_0)\), det er et saddelpunkt
Enten \(z_1=0\) eller \(z_2=0\)	Ingen konklusion

Eksempel

Hvis vi går tilbage til eksemplet fra før, med funktionen \( f(x,y)=3x^3+4y^3+6xy^2-9x^2 \), kan vi nu finde de andenafledede, og opstille Hesse-matricen:

$$f_{xx}=18x-18 \quad f_{yy}=24y+12x \quad f_{xy} = 12y $$

$$ Hf = \pmatrix{18x-18 & 12y \cr 12y & 24y+12x} $$

Hvis vi starter med punktet (0,0):

$$ Hf(0,0) = \pmatrix{-18 & 0 \cr 0 & 0} \\ \bigg| \pmatrix{-18-z & 0 \cr 0 & 0-z} \bigg| = -z(-18-z) = 0 \Leftrightarrow z_1=-18,z_2=0 $$

Siden \(z_2=0\) kan vi desværre ikke sige noget om punktets art. Vi kan prøve med punktet (2,0):

$$ Hf(2,0) = \pmatrix{18 & 0 \cr 0 & 24} \\ \bigg| \pmatrix{18-z & 0 \cr 0 & 24-z} \bigg| = (18-z)(24-z) = 0 \Leftrightarrow z_1=18,z_2=24 $$

Nu har vi to positive værdier af z, og derfor kan vi konkludere, at funktionen har et lokalt minimum i (2,0).

Alternativ metode til at bestemme arten af et stationært punkt

Der findes en alternativ måde at bestemme arten af et stationært punkt. Vi kan kalde vores andenafledede funktioner i punktet \( (x_0,y_0) \), som vi ønsker at undersøge, for:

$$ r=f_{xx}(x_0,y_0), $$

$$ s=f_{xy}(x_0,y_0), $$

$$ t=f_{yy}(x_0,y_0). $$

Så kan man se på udtrykket \(r\cdot t-s^2 \) og \(r\), og ud fra dette afgøre arten af det stationære punkt:

• Hvis \(r\cdot t-s^2 > 0 \) og \(r>0\) : Funktionen har lokalt minimum i \( (x_0,y_0) \).
• Hvis \(r\cdot t-s^2 > 0 \) og \(r<0\) : Funktionen har lokalt maximum i \( (x_0,y_0) \).
• Hvis \(r\cdot t-s^2 < 0 \) : Funktionen har et saddelpunkt i \( (x_0,y_0) \).
• Hvis \(r\cdot t-s^2 = 0 \) : Ingen konklusion.