Længde af en kurve givet ved en vektorfunktion
Fra afsnittet om differentiering af vektorfunktion ved vi, at farten til tiden \(t=t_0\) er:
\(|\overrightarrow{v(t_0)}|=\sqrt{x’(t_0)^2+y’(t_0)^2}\)
og længden af banekurven, der gennemløbes i tiden \(dt\), er derfor:
\(dL=\sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\cdot dt\)
Længden af banekurven gennemløbet i perioden fra tiden \(t=a\) til tiden \(t=b\) finder vi ved at integrere \(dL\):
\(\displaystyle L = \int_{t=a}^{t=b}\:dL = \int_a^b \sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\:dt\)
Eksempel 1
Beregn for den liggende parabel, se figur 9 i afsnit 3, længden af den del af banekurven, der ligger i 2. og 3. kvadrant.
\(\overrightarrow{r(t)}=(x(t),y(t))=(2t^2+4t-16, t)\) og dermed
\(\overrightarrow{v(t)}= (x’(t),y’(t))=(4t+4, 1)\)
Den del af banekurven, der ligger i 2. og 3. kvadrant, forløber mellem de to skæringspunkter med y-aksen. Vi har tidligere set, at disse svarer til t-værdierne – 4 og 2, som dermed er vores integrationsgrænser:
\(\displaystyle L = \int_{-4}^2 \sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\:dt = \int_{-4}^2 \sqrt{16t^2+32t+17}\:\:dt\)
Integralet beregnes vha. et CAS-værktøj og giver 36,9.
Eksempel 2
Beregn for Archimedes spiral, se figur 11 i afsnit 5, længden af banekurven fra \(t=0\) og indtil første positive skæringspunkt med x-aksen.
\(\overrightarrow{r(t)}=(x(t),y(t))=(2t\cos(t), 2t\sin(t))\)og dermed
\(\overrightarrow{v(t)}=(x’(t),y’(t))=(2\cos(t)-2t\sin(t), 2\sin(t)+2t\cos(t))\)
Første positive skæringspunkt med x-aksen er for \(t=2\pi\), så integrationsgrænserne er 0 og \(2\pi\):
\(\displaystyle L = \int_0^{2\pi} \sqrt{x’(t)^2+y’(t)^2}\:dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{4t^2+4}\:\:dt = 2\: \int_0^{2\pi} \sqrt{t^2+1}\:\:dt\)
Integralet beregnes vha. et CAS-værktøj og giver 21,3.