Sammensatte funktioner

Hvis man har to (eller flere) funktioner, kan man sætte dem sammen. At sætte funktioner sammen vil sige, at man først kommer sin x-værdi ind i den ene funktion. Det resultat man så når frem til kommer man så ind i den anden funktion. Den funktion, man først bruger, kalder man den indre funktion, mens nummer to kaldes den ydre funktion.

Tænk på et tal, læg 3 til. Gang resultatet med 2.

Her er den indre funktion

$$f(x)=x+3$$

mens den ydre funktion er

$$g(x)=2x$$

Hvis vi havde tænkt på tallet 4, skulle vi altså først komme det ind i f.

$$f(4)=4+3=7$$

Dette resultat, skulle vi så komme ind på x's plads i g.

$$g(7)=2\cdot7=14$$

I stedet for at gøre det af to omgange som ovenfor, så kan man spare tid og gøre det i én omgang. Det vi gjorde var jo at komme x ind i f, og så komme resultatet (dvs. f(x)) ind i g. Skrevet i en omgang g(f(x)). Man kommer altså f(x) ind på x's plads i g. Med eksemplet ovenfor svarer det til:

$$g(f(x))=2f(x)=2(x+3)=2x+6$$

Altså har vi fundet en forskrift for den sammensatte funktion g(f(x)). Man kan sætte sit x direkte ind her, og så slipper man for at gøre det af to omgange som ovenfor.
Vi tjekker, at vi får samme resultat som før ved at sætte 4 ind:

$$g(f(4))=2\cdot4+6=8+6=14$$

Man skal holde tungen lige i munden, for det er ikke ligegyldigt, hvilken funktion der er indre og ydre. Hvis vi f.eks. havde gjort det i den anden rækkefølge ovenfor ville vi få

$$f(g(x))=g(x)+3=2x+3$$

Bolle-notationen

For at undgå de mange parenteser, som opstår ved sammensatte funktioner, bruger man en anden notation kaldet for bolle-notation.

$$f(g(x))=(f\circ g)(x)$$

Man læser det som "f bolle g af x", og man kan sige, at man "boller funktionen f med funktionen g".

Hvis

$$f(x)=\sqrt{x}\quad og\quad g(x)=3x$$

så er

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{g(x)}=\sqrt{3x}$$

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=3f(x)=3\sqrt{x}$$

Hvis

$$f(x)=2x+1\quad og\quad g(x)=x^2$$

så er

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=2g(x)+1=2x^2+1$$

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=(f(x))^2=(2x+1)^2=4x^2+1+4x$$

Man kan også sætte sin funktion sammen med sig selv.

Hvis

$$f(x)=2x^3$$

så er

$$(f\circ f)(x)=f(f(x))=2f(x)^3=2(2x^3)^3=2(2^3x^9)=16x^9$$

Videolektion