Skalarprodukt
Som nævnt tidligere kan man ikke gange to vektorer med hinanden. I stedet kan man tage skalarproduktet af to vektorer. Man finder skalarproduktet ved at gange førstekoordinaterne med hinanden og lægge det til produktet af andenkoordinaterne.
$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$$
Bemærk, at skalarproduktet af to vektorer giver et tal!
Lad os tage et eksempel
$$\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\\end{pmatrix}=3\cdot 2+1\cdot 4=10$$
Man markerer skalarproduktet med en prik (ligesom man plejer at gøre med multiplikation), og under tiden kalder man også skalarproduktet for prikproduktet. Man kan således tale om "at prikke to vektorer med hinanden".
Regneregler for skalarprodukt
Ligesom der er regneregler for addition og subtraktion af vektorer, så gælder der regneregler for skalarproduktet.
$$1.\quad\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$$
$$2.\quad\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$
$$3.\quad t(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=(t\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(t\overrightarrow{b})$$
$$4.\quad\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2$$
Den første regel siger, at det er ligegyldigt i hvilken rækkefølge man prikker to vektorer med hinanden.
Den anden siger, at hvis man vil prikke en vektor med en vektorsum, så svarer det til at prikke vektoren ind på hver vektor i summen. Med andre ord, kan man prikke ind i parentes.
Den tredje regel siger, at hvis du vil gange et tal med et skalarprodukt, så svarer det til at gange tallet på den ene vektor og derefter tage skalarproduktet eller at gange tallet på den anden vektor og derefter tage skalarproduktet.
Den fjerde regel er meget nyttig. Den siger, at hvis man prikker en vektor med sig selv, så får man længden af vektoren i anden.
Alle reglerne kan let bevises ved at regne venstre- og højresiden ud med koordinater hver for sig og se, at det giver det samme. F.eks kan regel 4 vises sådan her:
$$V:\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=a_1\cdot a_1+a_2\cdot a_2=a_1^2+a_2^2\\H:|\overrightarrow{a}|^2=(\sqrt{a_1^2+a_2^2})^2=a_1^2+a_2^2$$
Videolektion