Binomialfordelingen

Man bruger binomialfordelingen, når man har et forsøg, der kun har to udfald: succes og fiasko. Man gentager forsøget et antal gange. Dette antal kaldes antalsparameteren og betegnes med n. Desuden skal der være en fast sandsynlighed for at der bliver succes. Denne kaldes sandsynlighedsparameteren og betegnes med p.

Vi laver en stokastisk variabel X, der angiver hvor mange succeser, vi har haft.

Vi kunne for eksempel have et spil 5-ternings-Yatzy, hvor vi manglede 3'erne. Vi er interesserede i, hvor mange 3'ere vi får.

I stedet for at se det som at kaste 5 terninger, kan vi se det som at kaste 1 terning 5 gange. Derfor er antalsparameteren n=5.

Vores succes er, at terningen viser 3. Det er altså fiasko, hvis den viser 1, 2, 4, 5 eller 6.

Der er 1 ud af 6, der giver succes, derfor er p=1/6.

Vores stokastiske variable X kan antage værdierne 0, 1, 2, 3, 4, 5, alt efter hvor mange 3'ere vi får.

Vi vil se, hvad sandsynligheden er for at få én 3'er. Dvs finde P(X=1). Det svarer til, at vi i 1 af de 5 terningkast får en 3'er, mens vi får noget andet i de 4 andre.

Pga. multiplikationsprincippet skal vi altså gange

$$\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4$$

Imidlertid ved vi jo ikke i hvilket af de 5 terningkast, at 3'eren kommer. Det kan være i et hvilket som helst af dem. Derfor er der fem muligheder. I alt er sandsynligheden for at få én 3'er:

$$P(X=1)=5\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6} \right )^4\approx0,402$$

Binomialfordelingen

Det vi har set her er faktisk et specialtilfælde af binomialfordelingen.
Den siger nemlig, at

$$P(X=r)=K_{n,r}\cdot p^r\cdot (1-p)^{n-r}$$

Tjek selv efter, at formlen passer med ovenstående eksempel, hvor

$$n=5$$

$$r=1$$

$$p=\frac{1}{6}$$

$$1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$

$$n-r=5-1=4$$

$$K_{n,r}=K_{5,1}=\frac{5!}{1!\cdot4!}=5$$

Vi kan regne ud, hvad sandsynligheden er for at få hhv. 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 treere i de fem terningkast.

$$P(X=0)=K_{5,0}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^0\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^5\approx0,402$$

$$P(X=1)=K_{5,1}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^1\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^4\approx0,402$$

$$P(X=2)=K_{5,2}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^2\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^3\approx0,161$$

$$P(X=3)=K_{5,3}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^3\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^2\approx0,032$$

$$P(X=4)=K_{5,4}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^4\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^1\approx0,003$$

$$P(X=5)=K_{5,5}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^5\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^0\approx0,0001$$

Sandsynligheden for at få Yatzy med 3'erne i første forsøg er altså omkring 0,01%