Regneregler
Der findes visse regneregler for vektorer
$$\begin{align}
1. & \quad \bar{a}+\bar{b} = \bar{b} + \bar{a} \\[0.5em]
2. & \quad (\bar{a} + \bar{b}) + \bar{c} = \bar{a} + (\bar{b} + \bar{c}) \\[0.5em]
3. & \quad t(\bar{a}+\bar{b}) = t\bar{a} + t\bar{b} \\[0.5em]
4. & \quad (s+t)\bar{a} = s\bar{a} + t\bar{a} \\[0.5em]
5. & \quad s\cdot(t\cdot\bar{a}) = (s\cdot t)\bar{a}
\end{align}$$
Den første regneregel siger, at det er ligegyldigt i hvilken rækkefølge man lægger to vektorer sammen.
Den anden siger, at hvis man skal lægge flere vektorer sammen, så er det ligegyldigt, hvor man starter.
Den tredje fortæller, at hvis man skal gange et tal med en vektorsum, så svarer det til at gange tallet med hver vektor og bagefter lægge dem sammen. Med andre ord, må man gange et tal ind i en parentes med en vektorsum.
Den fjerde regel siger, at man må gange en vektor ind i en parentes med sum af tal.
Og den femte regel siger, at det er ligegyldigt om man ganger to tal sammen og så ganger dem med en vektor, eller om man først ganger det ene tal med vektoren og dernæst ganger det andet på. Når man regner med vektorer til hverdag, tænker man måske ikke så meget over, at man bruger disse regneregler, men det dem der danner grundlaget for al regning med vektorer.
Alle fem regler ovenfor kan let eftervises ved at udregne venstresiden og højresiden med koordinater hver for sig.
F.eks. kunne vi vise den første regel:
$$V:\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}$$
$$H:\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1+a_1\\b_2+a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}\\$$
Da højre- og venstresiden giver det samme, er de ens.