Primtal

Alle positive heltal kan skrives som et produkt af 1 og sig selv. F.eks.

$$42=1\cdot42.$$

Det er det, det betyder, at 1 er det multiplikative neutralelement (se regnearternes egenskaber).

Nogle tal kan også skrives som et produkt af andre faktorer. F.eks.

$$42=2\cdot21$$

$$\mathrm{eller}$$

$$42=2\cdot3\cdot7$$

Tallene 2, 3 og 7 kan dog ikke skrives som faktorer af andre tal. Tal som ikke kan faktoriseres, og derfor kun har divisorerne 1 og sig selv, kaldes for primtal. Et tal \(p\), større end 1, hvorom der gælder, at den eneste faktorisering af \(p\) er

$$p=1\cdot p$$

er et primtal.

Her er en liste over alle primtal mindre end 100:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, \\ 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.$$

Alle tal som ikke selv er primtal, kaldes sammensatte tal, fordi de kan skrives som et produkt af primtal. Dette kaldes en primfaktorisering af tallet. Faktisk kan alle sammensatte tal primfaktoriseres på én og kun én måde. F.eks. er primfaktoriseringen af 42

$$42=2\cdot3\cdot7$$

og primfaktoriseringen af 24 er

$$24=2\cdot2\cdot2\cdot3.$$

Der findes nogle metoder, der gør det lettere at primtalsfaktorisere. Lad os se på nogen af dem

Primtalsfaktorisering

De små primtals tabeller

Hvis du skal primtalsfaktorisere et tal, kan man begynde med at se, hvilke primtals tabeller tallet indgår i. Man kan starte med at se, om ens tal er deleligt med to. Hvis det ikke er tilfældet, kan man gå videre til 3, 5 osv. Hvis man finder et primtal, som ens tal er deleligt med, er dette primtal en del af primfaktoriseringen. Denne proces fortsætter man med, indtil resultatet af disisionen er et primtal.

Lad os se på et eksempel: 

Vi vil primfaktorisere tallet 414, og starter med at dividere med 2: \(\frac{414}{2}=207\). Vi ved altså, at 2 indgår i primfaktoriseringen. Nu skal vi finde næste tal ved at primfaktorisere 207. Da det ikke er et lige tal, indgår det ikke i 2-tabellen, men giver i stedet 103,5. Vi prøver med 3-tabellen i stedet: \(\frac{207}{3}=69\). Vi har nu fundet ud af, at både 2 og 3 indgår i primfaktoriseringen. Tallet 69 er ikke et primtal, så vi går videre med at primfaktorisere dette. Da 69 er ulige, indgår det ikke i 2-tabellen, så vi prøver med 3-tabellen: \(\frac{69}{3}=23\). Vi har nu fundet ud af, at 2, 3 og 3 indgår i primfaktoriseringen. Da 23 også er et primtal, er vi færdige, og den endelige primfaktorisering af 414 = \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23\).

Genkend tal fra tabeller

Hvis man skal primfaktorisere et tal som fx 90, behøver man ikke starte med de små tabeller som ovenfor, hvis man kan genkende, at man får 90 ved at gange 9 og 10 sammen. Derefter kan man primfaktorisere 9 og 10: 9 = \(3\cdot3\) og 10 = \(2\cdot 5\). Altså er primfaktoriseringen: 90 = \(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\).

Eratosthenes si

Eratosthenes (276 f.v.t.-194 f.v.t.) var en græsk astronom og matematiker, der bl.a. bestemte jordens omkreds. Derudover opfandt han en metode til at finde ud af, hvilke tal, der er primtal, og hvilke der ikke er.

Man starter med at skrive alle de naturlige tal større end 1 op på en liste. Det svarer til, at alle tallene er i sien. Så markerer man det første tal og "ryster sien". At ryste sien betyder at alle multipla af det første tal ryger ud af sien, dvs. vi krydser dem af listen, markeret ved en streg over tallet (hvis det mindste tal er 2, skal vi altså fjerne 4(=2\(\cdot\)2), 6(=2\(\cdot\)3), 8(=2\(\cdot\)4), 10(=2\(\cdot\)5), 12(=2\(\cdot\)6), 14(=2\(\cdot\)7), \(\ldots\)).

Dernæst markerer vi det mindste umarkerede tal og ryster alle multipla af det tal ud af sien (hvis det er 3, skal vi fjerne 6(=3\(\cdot\)2), 9(=3\(\cdot\)3), 12(=4\(\cdot\)3), 15(=5\(\cdot\)3), 18(=6\(\cdot\)3), 21(=7\(\cdot\)3), \(\ldots\)).

Hvis man gør det uendeligt mange gange, ender man med at have alle primtallene tilbage.

Lad os prøve at ryste sien et par gange. Først fylder vi sien op med alle de naturlige tal større end 1 (alle umærkede)

$$2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,\ldots$$

Nu markerer vi 2, og ryster sien.

$$\underline{2},3,\overline{4},5,\overline{6},7,\overline{8},9,\overline{10},11,\overline{12},13,\overline{14},15,\overline{16},17,\overline{18},19,\overline{20},\ldots$$

$$\underline{2},3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,\ldots$$

Nu markerer vi igen det laveste umærkede tal, 3, og ryster sien:

$$\underline{2},\underline{3},5,7,\overline{9},11,13,\overline{15},17,19,\overline{21},23,25,\overline{27},29,31,\ldots$$

$$\underline{2},\underline{3},5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,\ldots$$

Nu er det blevet 5's tur til at blive markeret. Vi ryster sien:

$$\underline{2},\underline{3},\underline{5},7,11,13,17,19,23,\overline{25},29,31,\overline{35},37,41,\ldots$$

$$\underline{2},\underline{3},\underline{5},7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,\ldots$$

og sådan ville vi kunne blive ved.

Mindste fælles multiplum

Ovenfor snakkede vi om multipla (flertal af multiplum) af et tal. Et multiplum af et tal \(a\) er et tal på formen

$$a\cdot k$$

hvor \(k\) er et helt tal. F.eks. er 15 et multiplum af 5 (med \(k=3\)) fordi

$$15=5\cdot3.$$

Med andre ord er et multiplum af \(a\) et tal, som \(a\) går op i.
Man kan også snakkes om et fælles multiplum af to tal. Det er et tal, som begge tal går op i. F.eks. er 24 et fælles multiplum af 4 og 6, fordi både 4 og 6 går op i 24.

I mange sammenhænge - f.eks. når man skal finde fællesnævnere - er det vigtigt at kunne finde et fælles multiplum, der er lavt. Hvis man ganger nævnerne med hinanden, får man et fælles multiplum, men det er ikke sikkert, det er det mindste fælles multiplum.

F.eks. havde vi ovenfor, at et fælles multiplum af 4 og 6 er 24, men det mindste fælles multiplum (mfm) er

$$\mathrm{mfm}(4;6)=12$$

Med små tal som 4 og 6 er det ret let at finde det mindste fælles multiplum. Men hvad gør man, hvis det f.eks. er tallene 42 og 48 man har med at gøre? Hvis man ganger dem sammen, får man

$$42\cdot48=2016$$

men mon ikke der findes et lavere tal, som både 42 og 48 går op i?
Heldigvis findes der en metode til at bestemme det mindste fælles multiplum af to tal.

Man starter med at primfaktorisere de to tal

$$42={\color{Red} {2\cdot 3}}\cdot7$$

$$\mathrm{og}$$

$$48=2\cdot2\cdot2\cdot{\color{Red}{2\cdot3}}.$$

Vi kan se, at de har primfaktorerne 2 og 3 til fælles (markeret med rødt).
Det mindste fælles multiplum er nu det tal, hvor man stiller alle de fælles primfaktorer op (hvor de
altså kun skrives én gang) og alle de øvrige primfaktorer.

$$\mathrm{mfm}(42;48)={\color{Red} {2\cdot3}}\cdot7\cdot2\cdot2\cdot2=336.$$

Altså et tal, der er noget lavere end produktet af de to tal.

Et andet eksempel.
Vi ønsker at finde det mindste fælles multiplum af 30 og 105.
Vi prøver først at gange de to tal med hinanden.

$$30\cdot105=3150$$

Nu prøver vi at se, om vi ikke kan finde et lavere fælles multiplum. Vi primfaktoriserer.

$$30=2\cdot{\color{Red} {3\cdot5}}$$

$$105={\color{Red} {3\cdot5}}\cdot7.$$

Nu tager vi de fælles primfaktorer og skriver dem op én gang, og de øvrige primfaktorer bagefter

$$\mathrm{mfm}(30;105)={\color{Red} {3\cdot5}}\cdot2\cdot7=210.$$