Opsparingsannuitet
Opsparingsannuitets-formlen bruges, når man regner på situationer, hvor der for eksempel indsættes et beløb hver måned på en opsparingskonto, som har en vis rente. Formlen ser således ud:
$$ A_n = b \cdot \frac{(1+r)^n-1}{r} $$
Som vi kan se, indgår der fire størrelser: An, b, r og n. b er det beløb du indbetaler hver termin, r er renten på din konto pr. termin, n er antal terminer (og antallet af indbetalinger) og An er det beløb du har på din konto efter n indbetalinger. Vi vil her gennemgå eksempler på at finde alle fire størrelser.
Vi ønsker at finde An
Du laver en opsparingsannuitet ved at foretage 10 indbetalinger på hver 2000kr. i banken til 1,7% i rente pr. termin. Hvor mange penge er der så på kontoen efter de 10 indbetalinger?
Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:
$$ A_n = b \cdot \frac{(1+r)^n-1}{r} $$
$$ A_{10} = 2000 \cdot \frac{(1+0,017)^{10}-1}{0,017} $$
$$ A_{10} = 2000 \cdot \frac{0,183612}{0,017} $$
$$ A_{10} = 21601,50 $$
Dvs., efter 10 indbetalinger er der 21601,50kr. på kontoen.
Vi ønsker at finde b
Efter 24 indbetalinger til en rente på 0,7% pr. termin står der nu 50000kr. på bankbogen. Hvor stort et beløb blev der sat i banken ved hver indbetaling?
Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:
$$ A_n = b \cdot \frac{(1+r)^n-1}{r} $$
$$ 50000 = b \cdot \frac{(1+0,007)^{24}-1}{0,007} $$
$$ 50000 = b \cdot \frac{0,182244}{0,007} $$
$$ 50000 = b \cdot 26,0349 $$
$$ b = \frac{50000}{26,0349} = 1920,50 $$
Der blev altså sat 1920,50kr. i banken ved hver indbetaling.
Vi ønsker at finde r
Du har 18 gange indbetalt 2500kr. på en annuitetsopsparings konto, og nu står der 50000kr. på kontoen. Hvor stor har rentesatsen pr. termin været?
Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:
$$ A_n = b \cdot \frac{(1+r)^n-1}{r} $$
$$ 50000 = 2500 \cdot \frac{(1+r)^{18}-1}{r} $$
Denne type af ligning, hvor den ubekendte størrelse r indgår både i en parentesudregning i tælleren og som en størrelse i nævneren, kan ikke umiddelbart løses vha. en lommeregner. Her kunne man gætte sig frem, men det kan være meget besværligt. Derfor løses ligningen i et CAS-værktøj som TI-Nspire eller Maple, og vi får løsningen:
$$ r = 0.0122155 \cdot 100\% = 1,22 \% $$
Rentesatsen pr. termin var altså 1,22%
Vi ønsker at finde n
Du ønsker at spare 75000kr. sammen ved at lave en opsparingsannuitet på 3000kr. pr. indbetaling til 1,2% pr. termin. Hvor mange indbetalinger skal der foretages for at nå de 75000kr.?
Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:
$$ A_n = b \cdot \frac{(1+r)^n-1}{r} $$
$$ 75000 = 3000 \cdot \frac{(1+0,012)^n-1}{0,012} $$
Nu står n alene som eksponent i vores ligning. Løsning af ligninger af denne slags, kræver at man kender til logaritmer. Hvis man ikke gør det, kan ligningen dog også nemt løses med et CAS-program som TI-Nspire eller Maple, men her gennemgåes resten af regnestykket med logaritmeregneregler:
$$ \frac{75000}{3000} = \frac{(1+0,012)^n-1}{0,012} $$
$$ \frac{75000}{3000} \cdot 0,012 = (1,012)^n-1 $$
$$ \frac{75000}{3000} \cdot 0,012 +1 = (1,012)^n $$
$$ 1,3 = (1,012)^n $$
$$ \text{log}(1,3) = \text{log} \big((1,012)^n \big) $$
$$ \text{log}(1,3) = n \cdot \text{log}(1,012) $$
$$ n = \frac{\text{log}(1,3) }{\text{log}(1,012) } = 21,99 \approx 22 $$
Der skal altså foretages 22 indbetalinger for at spare de 75000kr. sammen.