Andengradsligningen
En andengradsligning er en ligning på formen
$$ax^2+bx+c=0,\quad a\neq0$$
Eksempler på andengradsligninger er
$$\begin{array}{rcl}
x^2-2x-3 & = & 0 \\
2x^2+6x+4 & = & 0 \\
x^2-9 & = & 0.
\end{array}$$
I den første ligning er \(a=1\), \(b=-2\) og \(c=-3\).
I den anden ligning er \(a=2\), \(b=6\) og \(c=4\).
I den tredje ligning er \(a=1\), \(b=0\) og \(c=-9\).
Andengradsligninger har fået deres navn, fordi de indeholder et led, hvor \(x\) står i anden potens (\(x^2\)). Vi kalder \(a\) og \(b\) for koefficienterne til hhv \(x^2\) og \(x\), og vi kalder \(c\) for konstantleddet. Det er klart at \(a\) ikke må være 0, for så ville andengradsleddet (\(ax^2\)) jo forsvinde, og så ville det være en almindelig førstegradsligning. Når man skal løse en andengradsligning, kan det være svært at isolere \(x\), som vi er vant til fra almindelige førstegradsligninger. Derfor findes der en løsningsmetode til at finde \(x\), når man har at gøre med en andengradsligning. Metoden er inddelt i to skridt.
Først skal man finde diskriminanten. Diskriminanten betegnes med bogstavet \(d\). Diskriminanten fortæller os, hvor mange løsninger andengradsligningen har.
Hvis \(d\) er positiv (\(d>0\)), har ligningen 2 løsninger.
Hvis \(d=0\), har ligningen 1 løsning.
Hvis \(d\) er negativ (\(d<0\)), har ligningen ingen løsninger.
Man beregner diskriminanten ved formlen
$$d=b^2-4ac$$
For ligningen \(2x^2+6x+4=0\) vil diskriminanten være
$$d=6^2-4\cdot2\cdot4=36-32=4.$$
Denne diskriminant er positiv, og ligningen har derfor to løsninger.
Når vi skal finde løsningerne, bruger vi formlen
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}$$
Tegnet efter \(-b\) skal læses "plus minus", og det betyder, at vi finder den ene løsning ved at indsætte et plus, og den anden løsning ved at indsætte et minus. Hvis diskriminanten er 0, kan ligningen forsimples til:
$$x=\frac{-b}{2a}.$$
Hvis vi ser på eksemplet ovenfor, så får vi
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{4}}{2\cdot2}=\frac{-6\pm2}{4}=
\begin{cases}
\frac{-6+2}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\ \\
\frac{-6-2}{4}=\frac{-8}{4}=-2
\end{cases}$$
Ligningen har altså to løsninger; \(x=-1\) eller \(x=-2\). Vi prøver at indsætte dem i den oprindelig ligning for at tjekke, at det virkelig er løsninger.
$$2\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)+4=2-6+4=0$$
$$2\cdot(-2)^2+6\cdot(-2)+4=8-12+4=0$$