Potenser

I stedet for at skrive den samme matematiske operation mange gange i træk, kan det være smart med en genvej. F.eks. kan vi skrive

$$5\cdot4$$

i stedet for

$$5+5+5+5$$

Multiplikation er altså en kort skrivemåde for at plusse med det samme tal mange gange. På samme måde findes der en kort skrivemåde for at gange med det samme tal mange gange.

$$5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4$$

5⁴ læses som "5 opløftet til fjerde potens" eller bare "5 i fjerde" og betyder ganske enkelt 5 ganget med sig selv 4 gange. Et tal skrevet på denne måde kaldes en potens. 5 er grundtallet og 4 er eksponenten.

$$\text{grundtal}^{\text{eksponent}}=\text{potens}$$

Der findes et væld af potensregneregler, som det er godt at lære. Vi præsenterer først et eksempel, og så skriver vi den generelle regel

Reglen for multiplikation af to potenser med samme grundtal

$$7^2\cdot 7^3=(7\cdot 7)\cdot (7\cdot 7\cdot 7)=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=7^5$$

Dette kan også skrives som

$$7^2\cdot 7^3=7^{2+3}=7^5$$

Generelt lyder reglen

$$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$

Med ord siger vi, at ved multiplikation af potenser (med samme grundtal) lægges eksponenterne sammen.

Reglen for division af to potenser med samme grundtal

$$\frac{6^5}{6^2}=\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{6}}{\cancel{6} \cdot \cancel{6}}=\frac{6\cdot 6\cdot 6}{1}=6^3$$

Dette kan også skrives som

$$\frac{6^5}{6^2}=6^{5-2}=6^3$$

Generelt lyder reglen

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Med ord siger vi, at ved division af potenser (med samme grundtal) trækkes eksponenterne fra hinanden.

Reglen for potenser af potenser

$$(11^3)^4=11^3\cdot11^3\cdot11^3\cdot11^3$$

Ved brug af reglen for multiplikation af potenser får vi nu

$$11^3\cdot11^3\cdot11^3\cdot11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$

Vi kan også skrive det som

$$(11^3)^4=11^{3\cdot4}=11^{12}$$

Den generelle regel lyder

$$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$$

Med ord siger vi, at når vi tager en potens af en potens, ganger vi eksponenterne.

Reglen for potens af et produkt

$$(2x)^3=2x\cdot2x\cdot2x=2\cdot2\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x=2^3x^3$$

Vi kan også skrive dette som

$$(2x)^3=2^3\cdot x^3$$

Generelt er formlen

$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$

Reglen for potens af en brøk

$$\left(\frac{2}{5} \right )^3=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}$$

Vi ganger brøkerne sammen og får

$$\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2\cdot2\cdot2}{5\cdot5\cdot5}=\frac{2^3}{5^3}$$

Vi kan sammenfatte ovenstående til

$$\left ( \frac{2}{5} \right )^3=\frac{2^3}{5^3}$$

Den generelle regel er

$$\left ( \frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n}\quad,\quad b\neq0$$

Negative eksponenter

Ovenfor har vi forklaret hvad en positiv eksponent betyder. Det er antallet af gange, man skal gange grundtallet med sig selv. Men hvad betyder en negativ eksponent?
Lad os prøve at belyse det med et eksempel. Vi betragter brøken 

$$\frac{3^2}{3^6}$$

Først regner vi den om til en potens.

$$\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}$$

Men vi kan jo også regne brøken ud på en anden måde

$$\frac{3^2}{3^6}=\frac{\cancel3\cdot\cancel3}{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot\cancel3\cdot\cancel3}=\frac{1}{3^4}$$

Brøken er altså både lig med 3^-4 og med 1/3⁴. Derfor må de to være ens.

$$3^{-4}=\frac{1}{3^4}$$

Generelt kan vi skrive

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad,\quad a\neq0$$

Et vigtigt specialtilfælde af denne regel er

$$a^{-1}=\frac{1}{a}\quad,\quad a\neq0$$

Eksponenten nul

Nu har vi styr på de positive og negative eksponenter. Men hvad, hvis eksponenten er 0? Lad os se på et eksempel. Vi betrager brøken

$$\frac{5^3}{5^3}$$

Vi bruger regnereglen for division af potenser med samme grundtal og får

$$\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0$$

Men samtidig ved vi, at en brøk med det samme tal i tæller og nævner giver 1

$$\frac{5^3}{5^3}=1$$

Så brøken er både lig med 5⁰ og med 1. Altså må de være lig hinanden

$$5^0=1$$

Generelt kan vi skrive

$$a^0=1,\quad a\neq0$$

Oversigt

$$\begin{align*} a^n=&\underbrace{a\cdot a\cdot.\,.\,.\,\cdot a}_{n\, gange}\\\\a^n\cdot a^m&=a^{n+m}\\\\\frac{a^m}{a^n}&=a^{m-n}\\\\(a^m)^n&=a^{m\cdot n}\\\\(a\cdot b)^n&=a^n\cdot b^n\\\\\left ( \frac{a}{b} \right )^n&=\frac{a^n}{b^n}\quad,\quad b\neq0\\\\a^{-n}&=\frac{1}{a^n}\quad,\quad a\neq0\\\\a^{-1}&=\frac{1}{a}\quad,\quad a\neq0\\\\a^0&=1,\quad a\neq0 \end{align*}$$