Grundlæggende begreber
Inden for alle fag er der en særlig terminologi (nogle bestemte ord, der bruges meget og betyder noget helt særligt lige i denne sammenhæng). Sådan er det også inden for sandsynlighedsregningen. I dette afsnit vil vi gennemgå nogle af de vigtigste begreber indenfor sandsynlighedsregningen.
Udfaldsrum
Udfaldsrummet er det univers, vi bevæger os indenfor. Alle de mulige udfald, der er for det eksperiment, vi foretager os. Hvis vi kaster med en terning og er interesserede i, hvor mange øjne, den viser, vil de mulige udfald være:
Der er 6 forskellige udfald, og udfaldsrummet er:
$$U=\{1,2,3,4,5,6\}$$
Hvis vi i stedet havde kastet med to terninger, ville hvert udfald være to tal. F.eks (4,3), der ville betyde, at den første terning viste en 4'er og den anden en 3'er:
I dette tilfælde ville udfaldsrummet bestå af 36 forskellige udfald (den første terning kan vise 6 forskellige værdier og for hver af dem kan den anden terning vise 6 forskellige værdier. I alt er der altså 6*6=36 forskellige muligheder)
$$U=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,4),(6,5),(6,6)\}$$
Hvis vi havde spillet poker (hvor man får 5 ud af 52 kort), havde en pokerhånd (et udfald) kunnet være (K5,S3,HE,RJ,KK) - altså Klør 5, Spar 3, Hjerter Es, Ruder Knægt og Klør Konge. I alt ville udfaldsrummet bestå af 2.598.960 forskellige pokerhænder. I afsnittet om kombinatorik vender vi tilbage til, hvordan vi udregnede dette tal.
Vi kunne også have haft en skål med 3 røde og 1 blå bold:
Hvis vi trækker en bold, kan den kun være enten rød eller blå. Udfaldsrummet vil derfor være
$$U=\{\text{Rød, Blå}\}$$
I udfaldsrummet kan man altså ikke se, om nogle udfald er mere sandsynlige end andre.
Sandsynlighed
Hvert element i udfaldsrummet er tilknyttet en sandsynlighed. Man betegner sandsynligheden med et lille p.
I tilfældet med én terning, er sandsynlighederne for hvert udfald den samme. Der er 6 sider på terningen, så sandsynligheden for hvert udfald er 1/6
$$p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=\frac{1}{6}\approx0,1667$$
I tilfældet med to terninger, er der 36 mulige udfald. De er alle sammen lige sandsynlige, så sandsynligheden er
$$\frac{1}{36}\approx0,02778$$
for hvert udfald.
Hvis alle udfald er lige sandsynlige, kalder vi det et symmetrisk sandsynlighedsfelt. De to eksempler ovenfor er symmetriske sandsynlighedsfelter.
Eksemplet med skålen med 4 bolde, hvor 3 er røde og 1 er blå er ikke symmetrisk, da
$$p(\text{Rød})=\frac{3}{4}=0,75,\qquad p(\text{Blå})=\frac{1}{4}=0,25$$
Hvis man lægger sandsynlighederne for alle elementerne sammen, skal det give 1 (svarende til 100%).
Hændelse
En hændelse, H, er en delmængde af udfaldsrummet. F.eks. kunne man i forsøget med én terning se på hændelsen
$$H=\{\text{Antal øjne der er ulige}\}$$
De elementer i udfaldsrummet, der opfylder dette, er 1, 3 og 5:
Vi markerer sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer med et stort P. Man finder frem til sandsynligheden for en hændelse ved at lægge alle sandsynlighederne for de enkelte elementer i hændelsen sammen.
$$P(H)=p(1)+p(3)+p(5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=0,5$$
Hvis der er tale om et symmetrisk sandsynlighedsfelt, er sandsynligheden for en hændelse
$$P(H)=\frac{\text{Antal gunstige udfald}}{\text{Antal mulige udfald}}$$
F.eks. kunne en hændelse ved to terningekast være
$$H=\{\text{summen af øjnene er }5\}$$
De gunstige udfald er (1,4), (2,3), (3,2) og (4,1):
Altså er der 4 gunstige udfald. Vi indsætter i formlen:
$$P(H)=\frac{4}{36}\approx0,1111$$
Komplementær hændelse
Nogle gange er det lettere at regne sandsynligheden ud for, at en hændelse ikke sker.
Hvis vores hændelse hedder, H, så betegner vi den hændelse, at H ikke indtræffer med
$$\overline{H}$$
Vi kalder det, den komplementære hændelse. Det er klart, at enten sker H eller også sker den ikke. Derfor gælder der, at summen af sandsynlighederne må blive 1 (altså 100%)
$$P(H)+P(\overline{H})=1$$
$$P(H)=1-P(\overline{H})$$
Vi slår med tre terninger, og ønsker at finde sandsynligheden for, at vi får mindst én sekser. Vores hændelse er altså
$$H=\{\text{mindst 1 sekser}\}$$
Det er imidlertid ikke helt let at beregne, hvor mange gunstige udfald, der er for denne hændelse.
Den komplementære hændelse må være:
$$\overline{H}=\{\text{ingen seksere}\}$$
Det er noget lettere at udregne sandsynligheden for, at denne hændelse indtræffer. Når der ikke må være nogen seksere, er der nemlig fem gunstige udfald på den første terning (1, 2, 3, 4 eller 5). For hver af dem er der 5 gunstige udfald på den næste terning, og for hver af dem er der endnu 5 gunstige udfald på den tredje. Altså må sandsynligheden være
$$P(\overline{H})=\frac{\text{Antal gunstige udfald}}{\text{Antal muligeudfald}}=\frac{5\cdot5\cdot5}{6\cdot6\cdot6}=\frac{125}{216}\approx0,579$$
Ved at trække denne sandsynlighed fra 1, får vi sandsynligheden for H.
$$P(H)=1-P(\overline{H})=1-0,579=0,421$$
Altså er der 42,1% sandsynlighed for at få mindst én sekser, hvis man har tre slag. Det kan være nyttigt at vide, når man spiller ludo!