To ligninger med to ubekendte

Nogle gange er der ikke kun én ubekendt men hele to. Hvis man kun har én ligning, kan man ikke nå frem til, hvad de to ubekendte er. Det kræver, at man har to ligninger, før man kan nå frem til en løsning.

Løsningen er et talpar, der sikrer, at der står det samme på begge sider af lighedstegnet i hver af de to udtryk.

Strategien er at isolere den ene ubekendte i den ene ligning og så sætte udtrykket for den ind i den anden ligning.

Lad os se på et eksempel. Vores ligninger er

$$3y =6x-3$$

$$2x =7-y$$

Man må selv om hvilken ubekendt man prøver at isolere i hvilken ligning. Vi starter med at isolere \(y\) i den første ligning. \(y\) står næsten alene. Vi skal bare dividere med 3 – på begge sider af lighedstegnet.

$$\frac{3y}{3}=\frac{6x-3}{3}$$

Vi husker, at man skal dividere op i hvert led. Derfor får vi

$$y=2x-1$$

Dette udtryk for \(y\) sætter vi nu ind på \(y\)’s plads i den anden ligning.

$$2x=7-(\underbrace{2x-1}_y)$$

Nu er der kun én ubekendt i denne ligning, og vi kan derved løse den, som vi plejer.

Først ophæver vi minusparentesen og husker at hvert led skifter fortegn

$$2x=7-2x+1$$

Så samler vi 7+1 til 8 på højresiden, og lægger 2\(x\) til på begge sider

$$
\begin{align}
2x \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {2x}} = & 7-2x+1 \, {\color{Red} {+}} {\color{Red} {2x}} \\
4x = & 8
\end{align}
$$

Til sidst dividerer vi med 4 på begge sider for at få \(x\) til at stå alene

$$
\begin{align}
\frac{4x}{4} & =\frac{8}{4} \\[0.2em]
x & = 2 
\end{align}
$$

Nu har vi fundet ud af, hvad \(x\) er. Så mangler vi bare at finde ud af, hvad \(y\) er. Vi fandt heldigvis et udtryk for \(y\) undervejs, som vi kan bruge.

$$y=2x-1=2\cdot2-1=3$$

Løsningen på ligningerne er altså

$$(x,y)=\underline{\underline{(2,3)}}$$

Hvis vi sætter disse værdier ind i de oprindelige ligninger, vil den første give 9=9 og den anden vil give 4=4 (prøv selv at sætte dem ind). Dermed er de løsninger.