Potenser
Matematikere er generelt dovne. De gider ikke skrive alting eksplicit, så de finder på en slags forkortelser. I stedet for at skrive
$$3+3+3+3+3$$
så skriver de
$$5\cdot3$$
Gange er altså en kort måde at skrive på, at man plusser et tal med sig selv.
På samme måde er potenser en kort måde at skrive på, at man ganger et tal med sig selv mange gange
$$3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$$
kan man skrive som
$$3^5$$
Det betyder altså ”3 ganget med sig selv 5 gange”.
Man læser det som ”3 opløftet i femte potens” eller bare ”3 i femte”.
Tallet der står forneden (det man ganger med sig selv) kaldes grundtallet, og tallet der er hævet (det antal gange man ganger grundtallet med sig selv) kaldes eksponenten.
$$\mathrm{grundtal}^\mathrm{eksponent}$$
Regneregler for potenser
Der er nogle smarte regler for, hvordan man kan gange og dividere potenser med det samme grundtal.
Gange med potenser
F.eks. er
$$5^2\cdot5^6=\underbrace{5\cdot5}_{5^2}\cdot\underbrace{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}_{5^6}=5^8$$
Vi ser, at vi egentlig bare har lagt eksponenterne (de hævede tal) sammen. Den regel gælder generelt.
$$3^7\cdot3^5 =3^{7+5}=3^{12}$$
$$4^2\cdot4^3 =4^{2+3}=4^5$$
$$2^8\cdot2^{19} =2^{8+19}=2^{27}$$
Med symboler siger reglen
$$a^b\cdot a^c=a^{b+c}$$
Division med potenser
Hvad nu, hvis man ville dividere i stedet for at gange?
$$\frac{5^8}{5^6}=\frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}=\frac{5\cdot5\cdot{\color{Red}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}}}{{\color{Red}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}}}=5\cdot5=5^2$$
Altså har vi bare trukket eksponenterne fra hinanden. Reglen gælder generelt.
$$8^5:8^3 =8^{5-3}=8^2$$
$$2^{18}:2^{15} =2^{18-15}=2^3$$
$$7^6:7^1 =7^{6-1}=7^5$$
Med symboler er reglen
$$a^b:a^c=a^{b-c}$$
Eksponent 0?
Hvad gør man, hvis eksponenten er 0? Man kan jo ikke gange et tal med sig selv nul gange. Men, ser du, hvis eksponenten er 0, så er potensen lig med 1! Det virker måske underligt, men det skyldes faktisk reglen for division med potenser. Den giver os
$$1=5^8:5^8=5^{8-8}=5^0$$
Så 1 er det samme som 5\(^0\).
Vi kunne have sat hvilke som helt andre tal ind i stedet for 5 og 8 i regnestykket. F.eks.
$$1=2^7:2^7=2^{7-7}=2^0$$
Og sådan kan vi generelt nå frem til reglen
$$a^0=1$$
Negativ eksponent
Nu hvor vi ved, hvad en potens med eksponent 0 betyder, så kan vi også forstå de negative eksponenter.
Ved at regne baglæns, får vi:
$$5^{-8}=5^{0-8}=5^0:5^8=\frac{1}{5^8}$$
Eller generelt
$$a^{-b}=1:a^b$$
Oversigt
$$a^b\cdot a^c =a^{b+c}$$
$$a^b:a^c =a^{b-c}$$
$$a^0 =1$$
$$a^{-b} =1:a^b$$
Videolektion