Skjulte/kamuflerede andengradsligninger

Vi har tidligere set på andengradspolynomier på formen \(f(x)=ax^2+bx+c\) - hvor det grafiske billede er en parabel - og den tilhørende andengradsligning \(ax^2+bx+c=0\). Løsningerne til en sådan andengradsligning  angiver parablens skæringspunkter med x-aksen, som er givet ved:

$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{d}}{2 \cdot a} $$

Her er \(d=b^2-4\cdot a\cdot c\), diskriminanten, hvor der gælder følgende:

• Hvis \(d\) er negativ (\(d<0\)), så har ligningen ingen løsninger
• Hvis \(d=0\), så har ligningen 1 løsning
• Hvis \(d\) er positiv (\(d>0\)), så har ligningen 2 løsninger

Du kan se et eksempel på brugen af diskriminantformlen her.

Nogle gange møder vi ligninger som fx: $$ax^{10}+bx^5+c=0 \, \,\mathrm{eller} \,\, ax^4+bx^2+c=0$$

Selvom disse to ligninger indeholder potenser af højere orden end to, har de samme opbygning som andengradsligninger. De kaldes derfor skjulte (eller maskerede eller kamuflerede) andengradsligninger. Derfor kan vi benytte løsningsmetoden for andengradsligninger til at løse dem. Det gør vi via et lille trick, som vi kalder for substitution. 

Hvis vi f.eks. kigger på den første ligning \(ax^{10}+bx^5+c=0\), skal vi substituere \(x^{10}\) med en anden variabel, som er opløftet i anden.

Vi benytter en af vores potensregneregler på \(x^{10}\), som vi kan omskrive til\((x^5)^2\), og vi vælger en anden variabel, \(t\), som vi sætter til \(t=x^5\). Nu kan vi erstatte \(x^5\) med \(t\) i ligningen og får \(at^2+bt+c=0\). Og denne ligning er på samme form som en sædvanlig andengradsligning og kan løses med hensyn til \(t\).

Eksempel

Lad os se på ligningen \(x^6 - 5x^3 + 4 = 0\):

Vi kigger på \(x^6\) og omskriver til \(x^6=(x^3)^2\), dvs. vi sætter \(t=x^3\) og ligningen ser nu således ud:

$$t^2 - 5t + 4 = 0$$

Først finder vi diskriminanten;

$$d = (-5)^2 - 4 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

Vi kan se, at der er to løsninger til ligningen, da diskriminanten er positiv. Vi finder de to løsninger:

$$t= \frac{-(-5) \pm\sqrt{9}}{2\cdot 1}$$

$$t=\frac{5 \pm 3}{2} $$

$$t_1 = \frac{2}{2} = 1 \qquad \mathrm{og} \qquad t_2 = \frac{8}{2} = 4$$

Vi har endnu ikke fundet løsningerne til vores oprindelig ligning \(x^6-5x^3+4=0\), da vi har substitureret med \(t=x^3\). For at bestemme de x-værdier, der opfylder den oprindelige ligning, løser vi nu følgende:

$$x_1^3 = t_1 = 1 \qquad \mathrm{ og} \qquad x_2^3 = t_2 = 4 $$

Dvs.

$$ x_1 = \sqrt[3]{1} = 1$$

$$ x_2 = \sqrt[3]{4} = 1,587$$

Dermed er løsningerne til ligningen \(x^6-5x^3+4=0\) hhv. \(x_1=1\) og \(x_2=1,587\).

Brug af nulreglen

Nogle gange skal vi løse en ligning f.eks. på formen \( ax^6 + bx^4 + cx^2 = 0\), men denne ligning har ikke samme form som en sædvanlig andengrads-ligning. I nogle tilfælde kan vi komme nærmere en løsning ved at omskrive ligningen til et produkt, dvs. et gangestykke bestående af flere led.

I eksemplet her ser vi, at \(x^2\) indgår i hvert af de tre led på venstresiden, så vi kan sætte \(x^2\) udenfor en parentes:

$$ ax^6 + bx^4 + cx^2 = x^2 \cdot (ax^4 + bx^2 + c) = 0$$

Her bruger vi nul-reglen, som siger, at hvis produktet af flere led skal være lig med nul, så må (mindst) ét af leddene være lig med 0. Derfor er løsningerne:

$$x^2 = 0 \qquad \textit{ eller } \qquad ax^4 + bx^2 + c = 0$$

I dette tilfælde giver den første ligning umiddelbart løsningen \(x = 0\). Den anden ligning \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) løser vi som en sædvanlig andengrads-ligning i \(t\), idet vi substituerer \(x^2\) med \(t\). Hermed får vi følgende samlede løsning til den oprindelige ligning: \(x=0\) eller \(x = \pm \sqrt{t_1}\) eller \(x = \pm \sqrt{t_2}\), hvor \(t_1\) og \(t_2\) er positive rødder i andengradsligningen. Negative rødder i andengradsligningen kan ikke omsættes til reelle løsninger til den oprindelige ligning.