Bestem forskriften for et andengradspolynomium ud fra toppunktet og to punkter på grafen

Parablens toppunkt er på y-aksen i \(y_T\), og vi får derudover oplyst y-værdien, \(y_1\), i to punkter beliggende symmetrisk omkring toppunktet, i hhv. \(+ x_1\) og \(- x_1\), se figur 1.

Figur 1          Parabel med toppunkt på y-aksen og to symmetriske punkter kendt

Vi tager udgangspunkt i den generelle form for forskriften for et andengrads­polynomium: \(y(x)=a\cdot x^2 + b\cdot x + c\):

• vi ved, at tallet \(c\) i forskriften angiver skæring med y-aksen – så vi kan direkte på grafen aflæse tallet \(c = y_T\)
• vi ved, at x-koordinaten for parablens toppunkt er givet ved: \(x_T = \frac{-b}{2a}\). Da toppunktet ligger på y-aksen (hvor x-koordinaten er 0), kan vi konkludere, at tallet \(b = 0\)
• vi kan heraf udlede: \(y(x_1) = y(- x_1) = a\cdot {x_1}^2 + 0\cdot x_1 + c = a\cdot {x_1}^2 + y_T = y_1\), som giver os en ligning til bestemmelse af \(a\): 

\(a=\dfrac{y_1-y_T}{x_1^2}\)

• og forskriften for andengrads­polynomiet er dermed:

\(y(x)=\dfrac{y_1-y_T}{x_1^2}\cdot x^2+y_T\)

Hvis \(y_1 > y_T\) er parablen glad, og hvis \(y_T > y_1\) er parablen sur.

Videolektion

Eksempel

For en bro, der til forveksling ligner Dronning Alexandrines Bro (også kaldet Mønbroen, se foto), er i figur 2 vist et tværsnit af gennemsejlingsfaget.

Figur 2 Tværsnit af gennemsejlingsfag

Koordinat­systemets x-akse flugter med kørebanens underside, og buen er symmetrisk omkring koordinatsystemets y-akse.

Buen kan beskrives ved et andengradspolynomium. Buens toppunkt har y-værdien 16 m, og buen skærer x-aksen ved hhv. +40 m og – 40 m.

a)   Bestem en forskrift for buen. 

Vi aflæser af figur 2, at \(y_T = 16\) m, \(y_1 = 0\) m og \(x_1 = 40\) m.
Dermed er forskriften for buen: \(y = \dfrac{-16}{40^2}\cdot x^2 + 16 = \:– 0,01\cdot x^2 + 16\)

Det oplyses, at gennemsejlingshøjden (forstået som afstanden fra vandoverfladen ved normal vandstand til undersiden af kørebanen) er 26 m, og at oversiden af buens fundamenter er 2 m over vandoverfladen ved normal vandstand.

b)   Bestem buens spændvidde, dvs. afstanden mellem buens understøt-­
      ningspunkter på de to fundamenter (i meter) afrundet til én decimal.

Vi beregner y-værdien ved understøtningspunkterne: \(y_u = \:– 26 + 2 = \:–24\) m. Dette indsættes i forskriften, der løses mht. x: 
\(– 0,01\cdot x_u^2 + 16 = \:–24\), hvilket giver: \(x_u = \sqrt{4000} = 63,25\) m,
og buens spændvidde er derfor \(2\cdot 63,25\) m \(=126,5\) m.