Logaritmisk skala på y-aksen

Vi starter med det enkelt-logaritmiske koordinatsystem med logaritmisk skala på y-aksen. Vi bemærker først, at logaritmen kun er defineret for positive parametre. Altså er det kun punktområder med positiv y-værdi, dvs. 1. og 2. kvadrant i det sædvanlige (x,y)-koordinatsystem, der kan spejles til punkter i dette enkelt-logaritmiske koordinatsystem.

Vi bemærker videre, at punktet P (0,1) i det sædvanlige (x,y)-koordinatsystem spejles over i Origo (0,0) i det enkelt-logaritmiske koordinatsystem, idet Log(y=1) = 0.

Hvis vi inddeler 1. og 2. kvadrant i det sædvanlige (x,y)-koordinatsystem i 4 områder (A₁, B₁, C₁, D₁) som vist øverst i figur 2, bliver disse spejlet over i de 4 kvadranter (A₂, B₂, C₂, D₂) i det enkelt-logaritmiske koordinatsystem, som vist nederst i figur 2:

(x.y)-koordinatsystem			Enkelt-logaritmisk koordinatsystem
A1:	x ≥ 0, y ≥ 1		A2:	x ≥ 0, Log(y) ≥ 0
B1:	x ≤ 0, y ≥ 1		B2:	x ≤ 0, Log(y) ≥ 0
C1:	x ≤ 0, 0 < y ≤ 1		C2:	x ≤ 0, Log(y) ≤ 0
D1:	x ≥ 0, 0 < y ≤ 1		D2:	x ≥ 0, Log(y) ≤ 0

Figur 2         Spejling af punktområder i det sædvanlige (x,y)-koordinatsystem (øverst) til et enkelt-logaritmisk koordinatsystem med logaritmisk skala på y-aksen (nederst)

Punkter på x-aksen i det sædvanlige (x,y)-koordinatsystem er ikke med i hverken C₁ eller D₁, da disse punkter (med y-værdien 0) ikke kan spejles til dette enkelt-logaritmiske koordinatsystem.

For en god ordens skyld bemærker vi, at logaritmen til meget små, positive y-værdier, der kommer uendelig tæt på nul, er store negative tal. Vi formulerer det matematisk som \(lim_{y\to 0^+}Log(y) = -\infty\).

Anvendelse

Funktionsværdien i en eksponentiel vækstmodel kan vokse hurtigt, og allerede ved foholdsvis små værdier af x kan y-værdien blive meget stor. Det giver en udfordring, hvis vi har en lineær skala på y-aksen. Her vil vi være tvunget til at vælge enten en skala, der er velegnet for aflæsning af funktionsværdien ved små x-værdier, eller en skala, der er velegnet for aflæsning af funktionsværdien ved større x-værdier. Her kan et enkelt-logaritmisk koordinatsystem hjælpe os.

En eksponentiel vækstmodel har forskriften:

\(f(x) = b\cdot a^x\), hvor \(a > 0\) og \(b > 0\)

Hvis vi beregner logaritmen på begge sider af lighedstegnet, får vi ved brug af regnereglerne for logaritmer:

\(Log(f(x)) = Log(b\cdot a^x) = Log(b) + Log(a^x)\) og dermed

\(Log(f(x)) = Log(b) + x\cdot Log(a) = Log(a)\cdot x + Log(b)\)

hvor \(a > 0\) og \(b > 0\).

Vi genkender højresiden som forskriften for en ret linje, hvor skæringen med y-aksen er Log(\(b\)) og hældningen er Log(\(a\)). Vi kan altså konkludere, at hvis vi afbilder logaritmen til \(f(x)\) som funktion af \(x\), er resultatet en ret linje.

Og så er det jo netop det enkelt-logaritmiske koordinatsystem, hvor vi har en logaritmisk skala på y-aksen og en sædvanlig lineær skala på x-aksen, der kommer i spil.

Vi ser på et eksempel lidt senere, men inden da kan vi benytte ovenstående omskrivning til at bevise reglen om, at en eksponentiel vækstmodel har indbygget en fordoblingstid/halveringstid. 

Fordoblingstid/halveringstid

I en eksponentiel vækstmodel, hvor \(a > 1\), betragter vi to x-værdier, \(x_1\) og \(x_2\), hvorom det gælder, at funktionsværdien hørende til \(x_2\) er det dobbelte af funktionsværdien hørende til \(x_1\): \(f(x_2) = 2\cdot f(x_1)\). Vi beregner logaritmen på begge sider af lighedstegnet:

\(Log(f(x_2)) = Log(2\cdot f(x_1)) = Log(2) + Log(f(x_1))\)

Herefter indsætter vi udtrykket for Log(\(f(x)\)) for begge x-værdier:

\(Log(f(x_2)) = Log(a)\cdot x_2 + Log(b) = Log(2) + (Log(a)\cdot x_1 + Log(b))\)

Dette fører til:

\(Log(a)\cdot (x_2 – x_1) = Log(2)\)    og dermed   \((x_2 – x_1) = T_2 = \dfrac{Log(2)}{Log(a)}\)

For en given værdi af \(a > 1\) er højresiden et fast tal og altså uafhængigt af x-værdien. Dvs. at overalt på den eksponentielle vækstmodels graf er forskellen mellem to x-værdier, der giver en fordobling af y-værdien, den samme. Denne forskel betegner vi \(T_2\), som vi kalder fordoblingstiden eller fordoblings-konstanten (for netop at understrege, at der er tale om en konstant).

Måske genkender du formlen for fordoblingstiden, men er vant til at se den med den naturlige logaritme i både tæller og nævner på højresiden. Det giver dog præcis samme talværdi som med 10-talslogaritmen. Prøv selv med forskellige værdier af \(a\).

Der er kun tale om en fordoblingstid, hvis \(a > 1\).

Hvis \(0 < a < 1\) kan vi foretage helt tilsvarende udregninger for to x-værdier, \(x_1\) og \(x_2\), hvor vi forudsætter, at funktionsværdien hørende til \(x_2\) er det halve af funktionsværdien hørende til \(x_1\): \(f(x_2) = \frac{1}{2}\cdot f(x_1)\). Her kommer vi frem til:

\(Log(a)\cdot (x_2 – x_1) = Log(\frac{1}{2})\) og    \((x_2 – x_1) = T_{\frac{1}{2}} = \dfrac{Log(\frac{1}{2})}{Log(a)} = \dfrac{-Log(2)}{Log(a)}\)

For en given værdi af \(a\) (\(0 < a < 1\)) er højresiden et fast tal og altså uafhængigt af x-værdien. Dvs. overalt på den eksponentielle vækstmodels graf er forskellen mellem to x-værdier, der giver en halvering af y-værdien, den samme. Denne forskel betegner vi \(T_{\frac{1}{2}}\), som vi kalder halveringstiden eller halveringskonstanten (for netop at understrege, at der er tale om en konstant).

Eksempel

Vi ser på den eksponentielle vækstmodel \(f(x) = 2,0\cdot 1,20^x\), hvor \(x\ge 0\). Indledningsvist kan vi beregne fordoblingstiden til: \(T_2 = \frac{Log(2)}{Log(1,2)} = 3,8\).

Hvis vi vil kunne aflæse y-værdierne for x-værdier op til 40, kan vi afbilde funktionen i et sædvanligt (x,y)-koordinatsystem med en y-akse gående fra 0 til 3000, som vist i det midterste diagram i figur 5. Men her er det mere end vanskeligt at aflæse y-værdierne for x-værdier under 20. Hvis vi med rimelig nøjagtighed vil kunne aflæse y-værdierne for x-værdier under 20, kan vi afbilde funktionen i et sædvanligt (x,y)-koordinatsystem med en y-akse gående fra 0 til 80, som vist i det øverste diagram i figur 5.

I det enkelt-logaritmiske koordinatsystem nederst i figur 5 kan vi se, at funktionen som forventet afbildes som en ret linje, og vi kan med rimelig nøjagtighed aflæse y-værdierne i hele x-intervallet fra 0 til 40.

 

Figur 5         Eksponentiel vækstmodel vist i det sædvanlige (x,y)-koordinatsystem (øverst og i midten med forskellig skalering på akserne) og i et enkelt-logaritmisk koordinatsystem med logaritmisk skala på y-aksen (nederst).