Andengradsuligheder

Du har måske tidligere kigget på andengradsligninger. Disse ligninger kan typisk skrives på formen:

$0=ax^2+bx+c$

For at løse denne har du måske brugt formlen: $d=b^2-4\cdot a\cdot c$ til at finde diskriminanten, og derefter løst andengradsligningen ved: $x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}$

Andengradsuligheder adskiller sig dog lidt. Disse kan skrives på formen:

$0\neq ax^2+bx+c$

Dette betyder at udtrykket $ax^2+bx+c$ ikke er lig 0, men kan for eksempel være større end eller mindre end 0. Ved andengradsuligheder kan man møde de fire tilfælde:

$0<ax^2+bx+c$

$0\leq ax^2+bx+c$

$0>ax^2+bx+c$

$0\geq ax^2+bx+c$

Alle disse tilfælde løses ved først at løse den almindelige andengradsligning $0=ax^2+bx+c$, og derefter finde intervallerne, hvor uligheden passer.

Eksempel

Vi er givet andengradsuligheden  $0\leq 2x^2+2x-4$. For at løse den løser vi først andengradsligningen $0=2x^2+2x-4$. Vi starter med, at finde diskriminanten

$d=2^2-4\cdot 2\cdot (-4)$

$d=36$

Nu kan vi så finde nulpunkterne:

$x=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2\cdot 2}$

$x=1 \vee x=-2$

Det kunne nu være interessant at tegne grafen:

Vi vender nu tilbage til vores ulighed $0\leq 2x^2+2x-4$. Vi leder efter x-værdier, der gør, at værdien af højresiden bliver større end eller lig 0. Ud fra grafen kan vi se, at værdien bliver under 0, hvis $-2<x<1$. Løsningen for denne andengradsulighed er derfor:

$$L : ]\infty;-2] \wedge [1;\infty]$$